U가 홀수 인 경우, x ^ 2 + x-u = 0 방정식은 정수인 해가 없다는 것을 증명할 수 있습니까?

대답:

힌트 1: 그가 방정식 # x ^ 2 + x-u = 0 # 와 #유# 정수는 정수 해를 갖는다. #엔#. 그걸 보여줘. #유# 짝수이다.

설명:

만약 #엔# 거기에 정수가있는 해결책입니다. #엠# 그렇게

# x ^ 2 + x-u = (x-n) (x + m) #

어디에 # nm = u # 과 # m-n = 1 #

그러나 두 번째 방정식은 #m = n + 1 #

자, 둘 다. #엠# 과 #엔# 정수이기 때문에 #엔#, # n + 1 # 균등하다 # nm = u # 짝수이다.

제안

만약 #유# 가 홀수 인 경우, 방정식 # x ^ 2 + x - u = 0 # 정수가 아닌 해가 없습니다.

증명

정수 해가 존재한다고 가정 해보자. #엠# 방정식:

# x ^ 2 + x - u = 0 #

어디에 #유# 홀수 정수입니다. 가능한 두 가지 경우를 검토해야합니다.

#엠# 이상하다; 또는

#엠# 짝수이다.

먼저, 다음과 같은 경우를 고려해 보겠습니다. #엠# 이상한 경우 정수가 존재합니다. #케이# 그러한:

# m = 2k + 1 #

자, 이후 #엠# 우리 방정식의 뿌리입니다.

# m ^ 2 + m - u = 0 #

#:. (2k + 1) ^ 2 + (2k + 1) - u = 0 #

#:. (4k ^ 2 + 4k + 1) + (2k + 1) - u = 0 #

#:. 4k ^ 2 + 6k + 2 - u = 0 #

#:. u = 4k ^ 2 + 6k + 2 #

#:. u = 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) #

그리고 우리에게는 모순이 있습니다. # 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) # 짝수이지만 #유# 이상합니다.

다음으로, #엠# 짝수이면 정수가 존재합니다. #케이# 그러한:

# m = 2k #

유사하게, #엠# 우리 방정식의 뿌리입니다.

# m ^ 2 + m - u = 0 #

#:. (2k) ^ 2 + (2k) - u = 0 #

#:. 4k ^ 2 + 2k - u = 0 #

#:. u = 4k ^ 2 + 2k #

#:. u = 2 (2k ^ 2 + k) #

그리고 다시, 모순이 있습니다. # 2 (2k ^ 2 + k) # 짝수이지만 #유# 이상합니다.

그래서 우리는 방정식의 정수 해가 없다는 것을 증명했습니다. # x ^ 2 + x - u = 0 # 어디에 #유# 홀수 정수입니다.

그러므로 명제가 증명됩니다. QED

대답:

아래를 참조하십시오.

설명:

만약 # x ^ 2 + x-u = 0 # 그때

#x (x + 1) = u # 그렇다면 #엑스# 정수, #x (x + 1) # 심지어 모순이다. #유# 가설은 이상하다.