방정식 bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0은 하나의 실제 근원을 가지고있는 것으로 알려져있다. 입증 할 수있는 방정식 x ^ 2 + (a - b) x + (ab - b ^ 2 + 1) = 0 진짜 뿌리가 없다.

대답:

아래를 참조하십시오.

설명:

에 대한 뿌리 # bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # 아르

#x = (a - 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2) / (2b) #

뿌리는 일치하고 진짜 일 것이다 if

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 = (a - 5b) (a - b) = 0 #

또는

# a = b # 또는 #a = 5b #

지금 해결 중

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # 우리는

#x = 1/2 (-a + bpm sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 - 4) #

복잡한 뿌리의 조건은 다음과 같습니다.

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0 #

지금 만들고있어. #a = b # 또는 #a = 5b # 우리는

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 #

결론, if # bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # 일치하는 진짜 뿌리가있다. # x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # 복잡한 뿌리를 가진다.

우리는 방정식이 주어집니다:

# bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 #

하나의 실제 근원을 가지고 있으므로,이 방정식의 판별은 0입니다.

# 델타 = 0 #

# = ((- (a-3b)) ^ 2 - 4 (b) (b) = 0 #

#:. (a-3b) ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0 #

#:. (a-5b) (a-b) = 0 #

#:. a = b #, 또는 # a = 5b #

우리는 방정식을 보여 주려고합니다.

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #

진짜 뿌리가 없다. 이것은 부정적인 판별을 요구할 것이다. 이 방정식에 대한 판별은 다음과 같습니다.

# 델타 = (a-b) ^ 2 - 4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #

# = a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #

# = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

이제 첫 번째 방정식을 만족시키는 두 가지 가능한 경우를 고려해 보겠습니다.

사례 1: # a = b #

# 델타 = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (b) ^ 2-6 (b) b + 5b ^ 2-4 #

# = b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

사례 2: # a = 5b #

# 델타 = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

(5b) ^ 2-6 (5b) b + 5b ^ 2-4 #

# = 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

따라서 첫 번째 방정식의 조건은 두 번째 방정식이 항상 음의 판별을 가지므로 복잡한 뿌리 (즉, 실제 뿌리가 없음), QED