RR에서 x에 대해 풀면 방정식 sqrt (x + 3-4sqrt (x-1)) + sqrt (x + 8-6sqrt (x-1)) = 1?

대답:

#x in 5, 10 #

설명:

방해 # u = x-1 #. 그러면 방정식의 왼쪽 편을 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

#sqrt (u + 4-4sqrt (u)) + sqrt (u + 9-6sqrt (u)) #

# = sqrt ((sqrt (u) -2) ^ 2) + sqrt ((sqrt (u) -3) ^ 2) #

# = | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | #

존재의 유의 #sqrt (u) # 방정식에서 우리는 실제 가치만을 찾고 있으므로 제한이 있습니다. # u> = 0 #. 이제 나머지 사례를 모두 고려해 보겠습니다.

사례 1: # 0 <= u <= 4 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => 2-sqrt (u) + 3-sqrt (2) = 1 #

# => -2sqrt (u) = -4 #

# => sqrt (u) = 2 #

# => u = 4 #

그러므로 # u = 4 # 이 간격에서 유일한 해결책이다. #0, 4#

사례 2: # 4 <= u <= 9 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) -2 + 3 - sqrt (u) = 1 #

#=> 1=1#

이것이 동어 반복이므로, #4, 9# 솔루션입니다.

사례 3: # u> = 9 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) - 2 + sqrt (u) - 3 = 1 #

# => 2sqrt (u) = 6 #

# => sqrt (u) = 3 #

# => u = 9 #

그러므로 #u = 9 # 이 간격에서 유일한 해결책이다. # 9, oo) #

함께 찍은 우리는 #4, 9# 의 실제 가치를위한 해결책으로 #유#. 에서 대체 #x = u + 1 #, 우리는 최종 솔루션 세트에 도달한다. #x in 5, 10 #

왼쪽의 그래프를 보면, 이것은 우리가 기대하는 것과 일치합니다: