입증 할 수있는 sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) 1 이상의 자연수 n 합리적인 아니에요?

대답:

설명보기 …

설명:

가정하자.

#sqrt (1 + sqrt (2 + … + sqrt (n))) # 합리적이다

그렇다면 사각형이 합리적이어야합니다. 즉:

# 1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) #

따라서 다음과 같습니다.

#sqrt (2 + sqrt (3 + … + sqrt (n))) #

다음을 합리적으로 만들어야한다는 것을 알기 위해 반복적으로 제곱하고 뺄 수 있습니다.

# {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), (sqrt (n)):} #

금후 # n = k ^ 2 # 일부 양의 정수 #k> 1 # 과:

#sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

참고 사항:

2k + 1 = (k + 1) ^ 2 #

금후 # k ^ 2 + k-1 # 정수의 제곱이 아니며 #sqrt (k ^ 2 + k-1) # 우리의 주장과 모순되는 #sqrt (n-1 + sqrt (n)) # 이성적이다.

대답:

아래를 참조하십시오.

설명:

가정

#sqrt (1 + sqrt (2 + cdots + sqrt (n))) = p / q # 와 # p / q # 우리가 가지고있는 비 환원성

#sqrtn = (cdots (((p / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdots - (n-1)) = P / Q #

이 결과에 따르면 양의 정수의 제곱근이 이성적이기 때문에 어설픈 것이다.