컨버전스의 정의를 사용하여, 시퀀스 {2 ^ -n}이 n = 1에서 무한대로 수렴한다는 것을 어떻게 증명합니까?

대답:

지수 함수의 속성을 사용하여 N을 결정합니다. # 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <엡실론 # 매회마다 # m, n> N #

설명:

수렴의 정의는 # {a_n} # 다음 경우에 수렴합니다.

#AA 엡실론> 0 ""EE N: AA m, n> N ""| a_n-a_m | <엡실론 #

그래서, 주어진 #epsilon> 0 # 갖다 #N> log_2 (1 / 엡실론) # 과 # m, n> N # 와 #m <n #

같이 #m <n #, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 # 그래서 # 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) #

(-m) -2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1-2 ^ (m-n)) #

지금으로 # 2 ^ x # 항상 긍정적입니다. # (1-2 ^ (m-n)) <1 #, 그래서

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) #

그리고 # 2 ^ (- x) # 엄격하게 감소하고있다. #m> N> log_2 (1 / 엡실론) #

(- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) <2 ^ (- N) <2 ^ (- log_2 (1 / ε)

그러나:

# 2 ^ (- log_2 (1 / ε)) = 2 ^ (log_2 (ε)) = ε #

그래서:

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | <엡실론 #

Q.E.D.