Y = [(1-x) ^ (1/2)] / (2x ^ 2 + 3x + 1)의 범위는 얼마입니까?

먼저 도메인을 고려해 보겠습니다.

어떤 값의 #엑스# 정의 된 함수입니까?

분자 # (1-x) ^ (1/2) # 다음 경우에만 정의됩니다. # (1-x)> = 0 #. 첨가 #엑스# 이것의 양면으로 #x <= 1 #.

또한 분모가 0이 아니도록 요구합니다.

# 2x ^ 2 + 3x + 1 = (2x + 1) (x + 1) # 다음 경우에 0입니다. #x = -1 / 2 # 그리고 언제 #x = -1 #.

따라서 함수의 도메인은 다음과 같습니다.

# {RR의 x: x <= 1, x! = -1 및 x! = -1/2} #

밝히다 #f (x) = (1-x) ^ (1/2) / (2x ^ 2 + 3x + 1) # 이 도메인에

도메인의 각 연속 간격을 개별적으로 고려해 보겠습니다.

각각의 경우에, #epsilon> 0 # 작은 양수 여야합니다.

사례 (a): #x <-1 #

큰 음의 값의 경우 #엑스#, #f (x) # 작고 긍정적입니다.

이 간격의 다른 끝에서, if #x = -1 - 엡실론 # 그때

(1-ε + 1)) #f (x) = f (-1-ε) ~ = sqrt (2) / (

# = sqrt (2) / 엡실론 -> + oo # 같이 #epsilon -> 0 #

그래서 #x <-1 # 범위 #f (x) # ~이다. # (0, + oo) #

사례 (b): # -1 / 2 <x <= 1 #

# (-1 / 2 + ε) = sqrt (3/2) // ((2 (-1 / 2 + ε) +1) (-1 / 2 + 1) #

# = sqrt (3/2) / ε -> + oo # 같이 #epsilon -> 0 #

#f (1) = 0/1 = 0 #

그래서 # -1 / 2 <x <= 1 # 범위 #f (x) # ~이다. # 0, + oo) #

사례 (c): # -1 <x <-1 / 2 #

# (1 + ε) = sqrt (2) / (((2xx-1) +1) (- 1 + ε + 1)) #

# = -sqrt (2) / 엡실론 -> -oo # 같이 #epsilon -> 0 #

# (-1 / 2- 엡실론) ~ = sqrt (3/2) / ((2 (-1 / 2- 엡실론) +1) (- 1 / 2 + 1) #

# = -sqrt (3/2) / 엡실론 -> -oo # 같이 #epsilon -> 0 #

그래서 흥미로운 질문은 #f (x) # 이 간격에. 의 가치를 찾으려면 #엑스# 이 경우 파생 상품이 0이 될 것입니다.

# d / (dx) f (x) #

(1-x) ^ (1/2) xx-1) / (2x ^ 2 + 3x + 1) + ((1-x) ^ 2 + 3x + 1) ^ (- 2) xx (4x + 3)) #

(1-x) ^ (1 / 2) (4x + 3)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

# = ((-1/2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1)) - ((1-x) ^ (1/2) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

분자가 0 일 때 이것은 0이 될 것이므로 우리는 다음과 같이 풀고 자합니다:

(1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) = 0 # 1 / 2 (1-x)

~을 통해 곱하기 # 2 (1-x) ^ (1/2) # 얻으려면:

# - (2x ^ 2 + 3x + 1) -2 (1-x) (4x + 3) = 0 #

그건:

# 6x ^ 2-5x-7 = 0 #

뿌리가있다. # (5 + -sqrt (25 + 4xx6xx7)) / 12 = (5 + -sqrt (194)) / 12 #

이 뿌리 중, #x = (5-sqrt (194)) / 12 # 관련된 간격으로 떨어진다.

이것을 다시 #f (x) # 이 간격 (약 -10)에서 최대의 #f (x)를 찾으십시오.

이것은 나에게 복잡해 보인다. 나는 어떤 오류라도 만들었 는가?

대답: 함수의 범위는 다음과 같습니다. # (- oo, -10.58) uu 0, oo) #

에 대한 #x in (-oo, -1) # #-># #y in (0, oo) #

에 대한 #x in (-1, -0.5) # #-># #y in (-oo, -10.58) #

에 대한 #x in (-0.5, 1) # #-># #y in 0, oo) #