미분 방정식 y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0의 일반적인 해법은 무엇입니까?

# "특성 방정식은 다음과 같습니다."#

# z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 #

# => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 #

# => z = 0 "OR"z ^ 2 - z + 4 = 0 #

# "쿼드의 디스크. eq. = 1 - 16 = -15 <0"#

# "두 개의 복잡한 솔루션이 있으므로"# "

#z = (1 pm sqrt (15) i) / 2 #

# "그래서 균질 방정식의 일반적인 해법은 다음과 같습니다:"#

#A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) i x) + #

#C 'exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) i x) #

(x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin

# "완전한 방정식의 특별한 해법은"#

# "y = x,"#

# "보기가 쉽다."#

# "그럼 완벽한 해결책은:"#

(x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) = x + A + B exp (x /

대답:

(1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x}} + x #

설명:

우리는:

# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #

또는, 대안:

# y '' '- y' '+ 4y'= 4 # ….. A

이것은 제삼 일정한 계수를 갖는 선형 비 동종 미분 방정식. 표준 접근 방식은 솔루션을 찾는 것입니다. # y_c # 미분 방정식의 미분 방정식 인 보조 방정식 (Auxiliary Equation)을 살펴본 다음, # y_p # 비균질 방정식의

보조 방정식의 근원은 솔루션의 부분을 결정하며, 선형 적으로 독립적 인 경우 솔루션의 중첩이 완전한 일반 솔루션을 형성합니다.

• 진짜 별개의 뿌리 # m = 알파, 베타, … # 형태의 선형 적으로 독립적 인 해를 산출 할 것이다. # y_1 = Ae ^ (알파 맥스) #, # y_2 = Be ^ (betax) #, …
• 진짜 반복 된 뿌리 # m = 알파 #, 형태의 해답을 얻을 것이다. # y = (Ax + B) e ^ (alphax) # 여기서 다항식은 반복과 동일한 차수를가집니다.
• 복합 뿌리 (공액 쌍으로 발생해야 함) # m = p + -qi # 형태의 선형 적으로 독립적 인 해를 쌍으로 산출 할 것이다. # y = e ^ (px) (Acos (qx) + Bsin (qx)) #

특정 솔루션

비균질 방정식의 특정 해를 찾기 위해서:

# y ''- y ''+ 4y '= f (x) # 와 #f (x) = 4 # ….. C

다음으로 #f (x) # 학위의 다항식이다. #0#, 우리는 같은 차수, 즉 형태의 다항식 해를 찾을 것이다. #y = a #

그러나 이러한 솔루션은 이미 CF 솔루션에 존재하므로 폼의 잠재적 솔루션을 고려해야합니다 # y = 도끼 #, 상수 #에이# 직접적인 대체 및 비교에 의해 결정되어야한다:

차별화 # y = 도끼 # wrt #엑스# 우리는 얻는다:

# y '= a #

# y ''= 0 #

# y '' '= 0 #

이 결과를 DE A로 대체하면 다음과 같이됩니다.

# 0-0 + 4a = 4 => a = 1 #

그래서 우리는 특정 솔루션을 만듭니다.

# y_p = x #

일반 솔루션

그런 다음 A의 GS로 연결됩니다.

# y (x) = y_c + y_p #

(1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x}} + x #

이 솔루션에는 #3# 통합 상수 및 #3# 선형 적으로 독립적 인 해법이므로, 존재 론과 유일성 정리에 의해 그들의 중첩은 일반적인 해법이다.