대답:
아래 코멘트에서 언급했듯이, 이것은 MacLaurin 시리즈입니다. #f (x) = cos (x) #, 우리는 이것이 수렴한다는 것을 압니다. # (- oo, oo) #. 그러나 프로세스를보고 싶다면 다음을 수행하십시오.
설명:
우리는 분모에 계승을 가지고 있기 때문에, 우리는 비율 테스트 이것은 단순화를 좀 더 쉽게하기 때문에. 이 공식은 다음과 같습니다.
#lim_ (n-> oo) (a_ (n + 1) / a_n) #
이 값이 1보다 작 으면 계열이 수렴합니다.
이 값이 1보다 큰 경우 계열 수가 서로 다릅니다.
이 값이 1이면 테스트가 결정적이지 않습니다.
자, 이렇게 해보 죠.
(2k + 2) / ((2k + 2)!)) * (- 1) ^ k ((2k)!) / (x ^ (2k)) #
참고: (k + 1)을 어떻게 연결하는지 조심하십시오. 2k는 2k + 1이 아니라 2 (k + 1)로 바뀝니다.
나는 이의 역수를 곱했다. # x ^ (2k) / ((2k)!) # 단지 일을 좀 더 쉽게하기 위해서 나누는 대신에.
이제 대수를 봅시다. 절대 값 때문에, 우리의 교대 용어 (즉, # (-1) ^ k #) 우리는 항상 긍정적 인 대답을하기 때문에 그냥 취소하려고합니다:
(2k + 2) / (xk (2k))) * ((2k)!) / (x ^ (2k)
우리는 우리의 # x ^ (2k) #'에스:
# (> 2k)!) # => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / (2k + 2)!)
이제 계승을 취소해야합니다.
리콜 # (2k)! = (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1 #
또한, # (2k + 2)! = (2k + 1) * (2k + 1) * (2k-1) * … * 3 * 2 * 1 #
주의:
# (2k)! = (적색) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1) #
# (2k + 2)! = (2k + 1) * (2k + 1) * (적색) (2k) * (2k-1) * …. * 3 * 2 * 1) #
보시다시피, 우리는 # (2k)! # 본질적으로 # (2k + 2)! #. 이를 사용하여 모든 공통 용어를 취소 할 수 있습니다.
(2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … (2k) 3 * 2 * 1)) / ((2k + 1) * (2k + 1) * (2k + 1) #
# = 1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #
이 나뭇잎
# = lim_ (k -> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2) (2k + 1)))
이제이 한계를 평가할 수 있습니다. 우리는이 제한을 고려하지 않기 때문에 #엑스#, 우리는 그것을 배제 할 수 있습니다:
# => abs (x ^ 2 lim_ (k -> oo) (1 / ((2k + 2) (2k + 1)))
# => abs (x ^ 2 * 0) = 0 #
보시다시피,이 제한은 0보다 작습니다. 이제 우리는 스스로에게 묻습니다. 어떤 가치가 있는가? #엑스# 이 한도는 1 일까? 그리고 0을 곱한 값이 모두 0이기 때문에 대답은 '아니오'입니다.
그래서, 이후 (2k)) / (x ^ (2k))) <1 # (2k + 2) 의 모든 값에 대해 #엑스#, 우리는 그것이 수렴의 간격을 가지고 있다고 말할 수있다. # (- oo, oo) #.
희망이 도움이:)
