대답:
아래를 참조하십시오.
설명:
불행히도 통합 내부의 함수는 기본 함수로 표현할 수없는 어떤 것에 통합되지 않습니다. 이 작업을 수행하려면 숫자 방법을 사용해야합니다.
시리즈 확장을 사용하는 방법을 보여줄 수 있습니다. 근사값.
기하학적 시리즈로 시작하십시오.
# 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 … = sum_ (n = 0) ^ oor ^ n # …에 대한 # rlt1 #
지금 존중과 통합 #아르 자형# 한도 사용 #0# 과 #엑스# 이것을 얻으려면:
# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr #
왼쪽 편 통합:
# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = - ln (1-r) _ 0 ^ x = -ln (1-x) #
이제 용어를 용어별로 통합하여 오른쪽 측면을 통합하십시오.
2, 3, 4, 4 … 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
# = x + x ^ 2 / 2 + x ^ 3 / 3 + x ^ 4 / 4 + … #
따라서 다음과 같습니다.
(1-x) = x + x ^ 2 / 2 + x ^ 3 / 3 + x ^ 4 / 4 + … #
#impliesln (1-x) = -x-x ^ 2 / 2-x ^ 3 / 3-x ^ 4 / 4 + … #
이제 나누기 #엑스#:
#ln (1-x) / x = (-x-x ^ 2 / 2-x ^ 3 / 3-x ^ 4 / 4 +
# = - 1-x / 2-x ^ 2 / 3-x ^ 3 / 4 -… #
그래서 우리는 원래 우리가 처음 시작한 함수의 멱급수 표현을 가지고 있습니다. 마지막으로 다음과 같이 다시 통합 할 수 있습니다.
# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = int_0 ^ 1-1-x / 2-x ^ 2 / 3-x ^ 3 / 4 -… dx #
용어 측면에서 오른손 용어를 통합하면 다음과 같은 이점이 있습니다.
# 1_0 ^ 1ln (1-x) / x = - x-x ^ 2 / 4-x ^ 3 / 9-x ^ 4 / 16 -… _ 0 ^ 1 #
한계를 4 가지 조건으로 평가하면 대략적인 가치를 얻을 수 있습니다.
# int_0 ^ 1ln (1-x) / x ~~ {-1-1 ^ 2 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 4 / 16} - {0} #
#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#
자, 이것은 네 가지 용어에 불과합니다. 더 정확한 숫자를 원하면 시리즈에서 더 많은 용어를 사용하십시오. 예를 들어, 100 번째 용어로 이동:
# int_0 ^ 1ln (1-x) /x~-1-163498#
제쳐두고 똑같은 과정을 거치지 만 합계 표기법 (즉, 시리즈의 용어를 쓰는 대신 큰 시그마와 함께 사용)을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 #
이것은 2의 Riemann-Zeta 함수입니다. 즉, # int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 = -zeta (2) #
우리는 실제로이 값을 다음과 같이 알고 있습니다. # 제타 (2) = 파이 ^ 2 / 6 #.
따라서 적분의 정확한 값은 다음과 같이 추론 할 수 있습니다.
# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -pi ^ 2 / 6 #
