함수없이 시작하자. #엠#:
# x ^ 3-2x ^ 2 + 2x = x (x ^ 2-2x + 2) #
이 함수는 반드시 가지고있다. # x = 0 # 우리가 고려한 이후로 #엑스#.
다른 뿌리는 # x ^ 2-2x + 2 = 0 #,하지만이 포물선에는 뿌리가 없습니다. 즉 원래의 다항식에는 단 하나의 루트 만 있습니다.
자, 다항식 #p (x) # 이상한 정도의 문제는 항상 적어도 하나의 해결책이 있습니다.
#lim_ {x to- infty} p (x) = - infty # 과 #lim_ {x ~ infty} p (x) = infty #
과 #p (x) # 계속되는 것이므로 #엑스# 어떤 점에서 축.
대답은 다음 두 가지 결과에서 비롯됩니다.
- 학위의 다항식 #엔# 정확히있다 #엔# 복잡한 뿌리 많으면 #엔# 진짜 뿌리
- 주어진 그래프 #f (x) #,의 그래프 #f (x) + k # 같은 모양이지만 수직으로 번역됩니다 (위쪽으로 #k> 0 #, 그렇지 않으면 아래로).
그래서, 우리는 # x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #, 하나의 진짜 뿌리 (따라서 두 개의 복잡한 뿌리)를 가지며 우리는 그것을 # x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + m #이는 솔루션을 위아래로 변환한다는 것을 의미하므로 솔루션의 수를 변경하지 않습니다.
몇 가지 예:
원본 기능: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #
그래프 {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x -3 3 -4 4}}
위로 번역: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 #
그래프 {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 -3 3 -4 4}}
아래로 번역: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 #
그래프 {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 -3 3 -4 4}}
보시다시피 항상 하나의 루트가 있습니다.
대답:
아래 참조
설명:
대안, 어쩌면 더 우아한 해결책:
다항식의 파생어는입니다. # 3x ^ 2-4x + 2 #이것은 뿌리가없는 포물선이며 따라서 항상 양성이다. 그래서, #에프#:
- 단조롭게 증가하는
- #lim_ {x ~ pm infty} f (x) = pm infty #
- # "deg"(f) = 3 #
처음 두 점은 #에프# 정확히 하나의 뿌리를 가지고 있으며, 세 번째는 다른 두 개의 뿌리가 복잡하다는 것입니다.
