단일 주사위를 굴릴 경우 모든 숫자를 굴리는 데 필요한 예상 굴림 횟수는 얼마입니까?

대답:

# 14.7 "롤"#

설명:

#P "모든 숫자 던져" = 1 - P "1,2,3,4,5, 또는 6 던지지" #

#P "A 또는 B 또는 C 또는 D 또는 E 또는 F" = P A + P B + … + P F - #

#P A와 B - P A와 C …. + P A와 B와 C + … #

# ""여기에 "#

n = 15 * (5/6) ^ n + 6 * (1/6) ^ n + ^ n #

# P = P_1 (n) - P_1 (n-1) #

(4/6 - 1) + … # (6/6) ^ (n-1) (5/6 -

(n-1) -10 (3/6) ^ (n-1) + 10 * (2/6) ^ (n-1) -5 * (1/6) ^ (n-1) #

# "이것은 우리의 확률입니다."#

#sum n * a ^ (n-1) = sum (d / {da}) (a ^ n) #

1 / (1-a)) = 1 / (1-a) ^ 2 # (d / {da}

# => E n = 합계 n * P "n 던지기 후에 던진 모든 숫자" #

# = 합계 n * ((5/6) ^ (n-1) - 5 * (4/6) ^ (n-1) + … #

#= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2#

#= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2#

#= 15.7#

# "시작 조건 P_1 (0) 때문에 1을 뺍니다"#

# "는 n = 1에 대해 잘못된 값 P = 1을 제공합니다."#

# => P = 15.7-1 = 14.7 #

대답:

#6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7#

설명:

6 개의 미니 게임처럼 생각하십시오. 각 게임마다 아직 굴리지 않은 숫자를 굴릴 때까지 주사위를 굴려서 "승리"라고합니다. 다음 게임을 시작합니다.

방해 #엑스# 모든 수를 최소 한 번 굴리는 데 필요한 굴림 수 (즉, 6 개의 미니 게임 모두 승리) # X_i # 미니 게임 수를 "이기는"데 필요한 롤 수 #나는# (에 대한 #나는# 1에서 6까지). 그런 다음 각각 # X_i # 분포가있는 기하 확률 변수입니다. # "지역"(p_i) #.

각 기하 확률 변수의 예상 값은 다음과 같습니다. # 1 / p_i #.

첫 번째 게임의 경우, # p_1 = 6 / 6 # 6 가지 결과가 모두 "새로운"것이기 때문입니다. 그러므로, # "E"(X_1) = 6/6 = 1 #.

두 번째 게임의 경우 6 가지 결과 중 5 가지가 새로 추가되었으므로 # p_2 = 5 / 6 #. 그러므로, # "E"(X_2) = 6 / 5 = 1.2 #.

세 번째 게임의 경우 6 개의 롤 중 4 개가 새로 추가되었으므로 # p_3 = 4 / 6 #의미 # "E"(X_3) = 6 / 4 = 1.5 #.

이 시점까지는 패턴을 볼 수 있습니다. 새로운 게임마다 "승리하는"롤 수가 1 씩 감소하기 때문에 각 게임에 "승리"할 확률은 #6/6# 에 #5/6#, 그 다음에 #4/6#, 등등. 게임 당 예상 롤 수는 다음과 같습니다. #6/6# 에 #6/5#~까지 #6/4#, 마지막 게임까지, 계속해서 마지막 숫자를 얻기 위해 6 개의 롤을 가져갈 것으로 예상됩니다.

그러므로:

# "E"(X) = "E"(X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) #

#color (흰색) ("E"(X)) = "E"(X_1) + "E"(X_2) + … + "E"(X_5) + "E"(X_6) #

#color (흰색) ("E"(X)) = 6 / 6 + 6 / 5 + 6 / 4 + 6 / 3 + 6 / 2 + 6 / 1 #

#color (흰색) ("E"(X)) = 1 + 1.2 + 1.5 + 2 + 3 + 6 #

#color (흰색) ("E"(X)) = 14.7 #