가능하다면 grad f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5)와 같은 함수 f를 찾으십시오.

대답:

#f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

설명:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

# "지금 가져 가세요"#

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "그런 다음 우리는 조건을 만족시키는 하나의 동일한 f를가집니다."#

# => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

대답:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

설명:

del 연산자 (또는 그레디언트 연산자)는 벡터 미분 연산자이므로 문제는 빈약 한 표기법을 사용합니다.

우리는 기능을 찾는다. #f (x, y) # 그러한:

# bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

어디에 #bb (grad) # 그라디언트 연산자입니다.

(ul hat i) + (부분 f) / (부분 x) bb (ul hat j) = << f_x, f_y> > #

우리가 요구하는 것:

# f_x = (부분 f) / (부분 x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 # ….. A

# f_y = (부분 f) / (부분 y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 # ….. B

우리가 A wrt #엑스#, 치료하는 동안 #와이# 상수로 다음 우리는 얻는다:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 dx #

# = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

우리가 B wrt #와이#, 치료하는 동안 #엑스# 상수로 다음 우리는 얻는다:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5 dy #

# = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

어디에 #u (y) # 는 임의의 함수이다. #와이# 혼자서, 그리고 #v (x) # 는 임의의 함수이다. #엑스# 혼자.

우리는 분명히 이러한 기능이 동일해야한다고 요구합니다.

(x) + c = 3x + 3y ^ 2 + u (y) + c =

#:. x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

그래서 우리는 #v (x) = x ^ 4 # 과 #u (y) = y ^ 6 #이는 우리에게 우리의 해결책을 제시합니다:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

우리는 편미분을 계산하여 솔루션을 쉽게 확인할 수 있습니다.

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # QED