Psi (x, t) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - ?

#에이)#

너는 단지 취할 필요가있다. #Psi ^ "*"Psi #.

#color (blue) (Psi ^ "*"Psi) = sqrt (1 / L) sin (pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) (iomega_2t) #

(1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ (iomega_2t) sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t)

1 / Lsin ^ 2 ((pix) / L) + 1 / L (pix) / L sin ((2pix) / L) (2pix) / L) sin (2pix) / L) (1 / L) sin (2π / L)

+ 1 / L 죄 ((pix) / L) 죄 ((2pix) / L) / L) e ^ (i (ω1-ω2) t) + e ^ (i (ω2-ω1) t))

#비)#

운동의 상수 인 에너지를 먼저 알아 봄으로써 최소한의 노력으로 기간을 찾을 수 있습니다.

에너지 # phi_1 = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) # ~이다. # E_1 = (1 ^ 2pi ^ 2 ^ ^ 2) / (4mL ^ 2) #, 그리고 # phi_2 # ~이다. # 4E_1 #. 따라서, 주파수 # omega_2 # 의 # phi_2 # 그것의 네 배입니다. # phi_1 # (# omega_1 #).

결과적으로, 기간 # T_1 = (2pi) / (omega_1) # 의 # phi_1 # 그것의 네 배입니다. # phi_2 # (# T_2 = (2π) / (ω2) #, 또한 # phi_2 #.

따라서 기간은 #color (파랑) (T = (2pi) / (omega_1)) #.

#기음)#

이걸 너 자신으로 연결시켜 줄거야. #t _ "*"= pi / 2 (E_2-E_1) #. 너는 그걸로 아무 것도 할 필요가 없어.

우리는 그것을 알고있다. #T = (2π) / (ω1) #, 그리고 그 # (iEt) / ℏ = iomegat #, 그래서

#E_n = 오메가 _nℏ #.

결과적으로, π / (2 (E_2-E_1)) = π / (2 (ω2-ω1) ℏ) #

과

#color (파란색) (t _ "*"/ T) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2pi) #

# = 1 / (2 (4ωga_1-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2) #

# = 오메가 1 / (4ℏ (3omega_1)) #

# = 색상 (파란색) (1 / (12ℏ)) #

#디)#

입자를 발견 할 확률 # 0, L / 2 # 주어진다

#int_ (0) ^ (L / 2) Psi ^ "*"Psidx #

dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin (0) = (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (- 3iomega_1t) + e ^ (3iomega_1t) dx #

(2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2sin (1 / Lint_ (0) ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

처음 두 항은 진폭의 절반으로 대칭이고 항복 #50%# 사무용 겉옷.

세 번째 항은 # 4 / (3pi) #, 및 #코사인# 임의의 위상 요소입니다. 따라서, 전체 확률은

# = 색상 (파란색) (0.50 + 4 / (3pi) cos (3omega_1t)) #

#이자형)#

#color (파란색) (<< x >>) = << Psi | x | Psi >> = << xPsi | Psi >> #

(2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((pix) / L) 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2xsin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos

이것에 대한 사소한 해결책은 없습니다 … 이것은 다음과 같이 밝혀졌습니다:

# = L / (4π × 2) + L / 8 + (2L) / (3π) - (8L) / (9π ^ 2)

# (color) (청색) (((2 + pi ^ 2) L) / (8pi ^ 2) + ((6pi-8) L) / (9pi ^ 2) cos

#에프)#

에서 #x = L / 2 #, #죄# 용어는 다음과 같다. #sin (pi / 2) = 1 # ~까지 #sin (pi) = 0 #로 나타났다.

이후 #sin (pi) = 0 #, 시간 의존 부분의 #Psi ^ "*"Psi # 시간과 무관 한 부분은 사라진다. # 1 / L # 확률 밀도.