X 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0을 해결하시오.

대답:

빠른 스케치 …

설명:

주어진:

# ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 ""# 와 #a! = 0 #

이것은 지저분 해지기 쉽고, 그래서 나는 단지 하나의 방법에 대한 스케치를 줄 것이다 …

곱하기 by # 256a ^ 3 # 대체하다 #t = (4ax + b) # 우울한 monic quartic을 얻기 위해서:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

여기에는 용어가 없으므로 # t ^ 3 #, 그것은 다음과 같은 형태로 고려해야합니다:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-At + B) (t ^ 2 + At + C) #

(B + C-A ^ 2) t ^ 2 + A (B-C) t + BC # (t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r)

계수를 평준화하고 조금 재정렬하면 다음을 얻습니다.

# {(B + C = A ^ 2 + p), (B-C = q / A), (BC = d)

그래서 우리는 발견:

# (A ^ 2 + p) ^ 2 = (B + C) ^ 2 #

#color (white) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = (B-C) ^ 2 + 4BC #

#color (white) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = q ^ 2 / A ^ 2 + 4d #

곱하기, 곱하기 # A ^ 2 # 약간 재배치하면 다음과 같이됩니다.

(A ^ 2) ^ 3 + 2p (A ^ 2) ^ 2 + (p ^ 2-4d) (A ^ 2) -q ^ 2 = 0 #

이 "입방 인치 # A ^ 2 #"적어도 하나의 실제 루트가 있습니다. 이상적으로는 실제 루트가 두 가지가 될 수 있습니다. #에이#. 그럼에도 불구하고 입방체의 뿌리가 할 것입니다.

의 가치를 감안할 때 #에이#우리는:

# B = 1/2 ((B + C) + (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + P + q / A) #

#C = 1/2 ((B + C) - (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p-q / A) #

따라서 우리는 풀어야 할 2 차 방정식을 얻습니다.