N이 n과 같은 가장 작은 정수 n은 무엇입니까? = m cdot 10 ^ (2016)?

대답:

# n = 8075 #

설명:

방해 #v_p (k) # ~의 다양성이있다. #피# 요인으로 #케이#. 그건, #v_p (k) # 가장 큰 정수 # p ^ (v_p (k)) | k #.

관찰:

• 어떠한 것도 #k in ZZ ^ + # 과 #피# 프라임, 우리는 가지고있다. # v_p (k!) = sum_ (i = 1) ^ k v_p (i) #

  (이것은 유도에 의해 쉽게 입증 될 수있다)

• 임의의 정수 #k> 1 #, 우리는 # v_2 (k!)> v_5 (k!) #.

  (이것은 직관적입니다. #2# 동등한 배수의 배수보다 자주 발생한다. #5#비슷한 주장을 사용하여 엄격하게 입증 될 수도 있음)

• 에 대한 #j, k in ZZ ^ + #, 우리는 #j | k <=> v_p (j) <= v_p (k) # 어떤 주요한 약수라도 #피# 의 # j #.

계속해서, 우리의 목표는 가장 작은 정수를 찾는 것입니다. #엔# 그렇게 # 10 ^ 2016 | n! #. 같이 # 10 ^ 2016 = 2 ^ 2016xx5 ^ 2016 #, 세 번째 관찰에 따르면, 우리는 # 2016 <= v_2 (n!) # 과 # 2016 <= v_5 (n!) #. 두 번째 관찰은 후자가 전자를 의미한다는 것을 의미한다. 따라서, 최소 정수를 찾는 것으로 충분하다. #엔# 그렇게 # v_5 (n!) = sum_ (i = 1) ^ nv_5 (i)> = 2016 #.

찾다 #엔# 우리는 우리가 계산할 수있는 관찰을 할 것입니다. # v_5 (5 ^ k!) #.

중에서 #1# 과 # 5 ^ k #,있다 # 5 ^ k / 5 # 의 배수 #5#, 각각은 적어도 #1# 총액에 #sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) #. 또한있다 # 5 ^ k / 25 # 의 배수 #25#, 각각은 #1# 초기 계수 이후의 합계로 이 방식으로 우리는 다음의 단일 배수에이를 때까지 진행할 수 있습니다. # 5 ^ k # (이것은 # 5 ^ k # 자체), 기여한 #케이# 곱하기 시간. 이러한 방식으로 합계를 계산하면

5 ^ k / 5 ^ i = sum_ (i = 1) = (5 ^ k) = sum_ (i = 1) (k-1) / (5-1) # (k-1)

따라서 우리는 # v_5 (5 ^ k!) = (5 ^ k-1) / 4 #

마지막으로, 우리는 #엔# 그렇게 # v_5 (n!) = 2016 #. 우리가 계산한다면 # v_5 (5 ^ k!) # 여러 가지 값 #케이#, 우리는 찾는다

# v_5 (5 ^ 1) = 1 #

# v_5 (5 ^ 2) = 6 #

# v_5 (5 ^ 3) = 31 #

# v_5 (5 ^ 4) = 156 #

# v_5 (5 ^ 5) = 781 #

같이 #2016 = 2(781)+2(156)+4(31)+3(6)#, #엔# 두 개의 "블록"이 필요하다. #5^5#, 두 #5^4#, 네 #5^3#, 그리고 세 #5^2#. 따라서 우리는

(5 ^ 5) +2 (5 ^ 4) +4 (5 ^ 3) +3 (5 ^ 2) = 8075 #

컴퓨터는 #sum_ (i = 1) ^ (8075) v_5 (i) = 2016 #. 그러므로 #10^2016 | 8075!#, 그리고 #5|8075!# 다양성을 지닌 #2016# 과 #5|8075#덜 가치있는 것은 충분할 것임이 분명하다.