학생들이 표준 형식의 타원으로 만드는 일반적인 실수는 무엇입니까?

타원에 대한 표준 형식 (내가 가르치는 것처럼)은 다음과 같습니다. (x-h) ^ 2 / a ^ 2 + (y-k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 #.

(h, k)는 중심이다.

거리 "a"= 수평 끝점을 찾기 위해 중심에서 얼마나 멀리 왼쪽으로 이동해야하는지.

거리 "b"= 수직 끝점을 찾기 위해 중심에서 얼마나 멀리 위 / 아래로 이동해야합니다.

나는 종종 학생들이 실수로 생각할 것이라고 생각합니다. # a ^ 2 # 끝점을 찾기 위해 센터에서 멀리 이동할 거리입니다. 때때로 이것은 여행하기에 아주 먼 거리 일 것입니다!

또한, 때로는 학생들이 이러한 수식을 문제에 적용 할 때 오른쪽 / 왼쪽 대신에 실수로 위 / 아래로 움직이는 경우가 있다고 생각합니다.

다음은 이야기 할 예제입니다.

# (x-1) ^ 2 / 4 + (y + 4) ^ 2 / 9 = 1 #

중심은 (1, -4)입니다. 오른쪽 및 왼쪽 "a"= 2 단위로 이동하여 (3, -4) 및 (-1, -4)에 수평 끝점을 가져와야합니다. (이미지 참조)

"b"= 3 단위 위아래로 움직여 (1, -1) 및 (1, -7)에 수직 종단점을 가져와야합니다. (이미지 참조)

a <b이기 때문에 장축은 수직 방향이 될 것입니다.

a> b 인 경우 주축은 수평 방향으로 진행됩니다!

타원에 대한 다른 정보를 찾으려면 다른 질문을하십시오!

(여부에 대한 혼란 #에이# 과 #비# major / minor 반경을 나타내거나 #엑스#- & #와이#- 방사선)

타원에 대한 표준 양식 원점을 중심으로 ~이다.

# x ^ 2 / (a ^ 2) + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 #

그러나 이미 일부는 위에 나열된 공식에 문제가 있습니다. 일부 사상 학교는 #에이# 항상보다 커야한다. #비# 따라서 주요 반경의 길이를 나타냅니다 (주요 반경이 수직 방향에 있더라도). # y ^ 2 / a ^ 2 # 그러한 경우), 다른 사람들은 항상 그것을 대표해야한다고 주장한다. #엑스#- radius (#엑스#-radius는 작은 반지름).

동일하게 적용됩니다. #비#, 반대로. (즉, 일부 사람들은 #비# 항상 작은 반경이어야하며 다른 사람들은 항상 반경이 작아야한다고 생각합니다. #와이#-반지름).

강사 (또는 사용중인 프로그램)가 선호하는 방법을 알고 있는지 확인하십시오. 강한 선호가 없다면, 간단히 스스로 결정하십시오. 당신의 결정과 일치해야합니다.. 과제를 중간에 마치면 마음이 바뀌어 일이 불분명 해지고 마음을 혼자서 변화시킵니다. 문제 실수로 이어질 것입니다.

(반경 / 축 혼란)

타원에서 실수의 대부분은 어떤 반경이 major이고 어느 것이 작은 지에 대한 혼란으로 인한 것 같습니다. 다른 가능한 실수는 주요 반경을 주요 축 (또는 보조 축과 보조 반경)과 혼동하는 경우 발생할 수 있습니다. 주축 (또는 보조) 축은 기본적으로 주 (또는 보조) 직경이기 때문에 주 (또는 보조) 축의 두 배와 같습니다. 이 혼란이 발생하는 단계에 따라 타원에 대한 심각한 오류가 발생할 수 있습니다.

(반경 / 반경 제곱 혼동)

비슷한 오류는 학생들이 분모 (# a ^ 2, b ^ 2 #)는 반경 자체가 아니라 반경의 제곱입니다. 같은 문제가있는 학생을 보는 것은 드문 일이 아닙니다. # x ^ 2 / 9 + y ^ 2 / 4 = 1 # 타원을 그리다 #엑스#-radius 9 및 #와이#또한, 이것은 위의 실수 (직경에 대한 반경을 혼동 함)와 관련하여 발생할 수 있으며, 위의 방정식을 가진 학생이 장 직경 9 (따라서 주요 반경 4.5)를 가진 타원을 그린 것과 같은 결과를 유도합니다. 올바른 주요 직경 6 (및 주요 반경 3) 대신.

(쌍곡선과 타원 혼란) 경고: 대답은 상당히 길다

다른 일반적인 실수는 타원에 대한 수식을 잘못 기억하는 경우 발생합니다. 특히 이러한 오류 중 가장 일반적인 것은 타원에 대한 수식을 쌍곡선에 대한 수식으로 혼동 할 때 발생하는 것으로 보입니다 (리콜, # x ^ 2 / a ^ 2 -y ^ 2 / b ^ 2 = 1 # 또는 # y ^ 2 / b ^ 2 - x ^ 2 / a ^ 2 = 1 # 원점에 중심을 둔 사람들은 위에 나열된 축 레이블링 규칙에 따라 달라질 수 있음). 이를 위해 원뿔형 단면으로 타원 및 쌍곡선의 정의를 기억하는 것이 도움이됩니다.

구체적으로 말하면, 타원은 두 초점과 관련된 점의 궤적이다 # f_1 & f_2 # 주축을 따라 위치하여, 임의의 점에 대하여 #피# 궤적 상 거리로부터 #피# 에 # f_1 # (레이블이 붙은 # d_1 #)와 거리 #피# 에 # f_2 # (레이블이 붙은 # d_2 #)는 주요 반경의 두 배입니다 (즉, if #에이# 주요 반경, # d_1 + d_2 = 2a #). 또한, 중심으로부터 이들 초점 (초점이라고도 함) 중 어느 하나까지의 거리 반 초점 분리 또는 선형 이심률), 가정 #에이# 주요 반지름은 다음과 같습니다. #sqrt (a ^ 2-b ^ 2) #.

대조적으로, 쌍곡선은 두 가지 초점과 관련된 점들의 궤적이다. #피# 궤적 상에, 차 점의 첫 번째 초점까지의 거리와 두 번째 초점까지의 점 사이의 거리는 주요 반경의 두 배와 같습니다 (즉 #에이# 주요 반경, # | d_1 - d_2 | = 2a #). 더 나아가, 쌍곡선의 중심으로부터 이들 초점으로의 거리 (다시, 때로는 선형 이심률이라고도하며, 여전히 가정 #에이# 주요 반경)은 다음과 같습니다. #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

원뿔형 단면의 정의와 관련하여 전반적으로 이심률 #이자형# 섹션의 첫 번째 섹션은 원인지 여부를 결정합니다 (# e = 0 #), 타원 (# 0 <e <1 #), 포물선 (# e = 1 #), 또는 쌍곡선 (#e> 1 #). 타원 및 쌍곡선의 경우 편심은 주요 반경의 길이에 대한 선형 이심률의 비율로 계산할 수 있습니다. 따라서, 타원에 대해서는 # e = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) / a = sqrt (1 - b ^ 2 / a ^ 2) # (따라서 필연적으로 1보다 작음), 쌍곡선에 대해서는 # a = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) / a = sqrt (1 + b ^ 2 / a ^ 2) # (따라서 반드시 1보다 커야 함).