이 Maclaurin 시리즈를 확장하는 방법? f (x) = int_0 ^ xlog (1-t) / tdt

대답:

(n + 1) / (n (n))은 다음과 같이 정의된다. +1) ^ 2 #

시각적:이 그래프를 확인하십시오.

설명:

우리는 우리가 배운 일반적인 통합 기술을 사용함에 따라이 적분을 평가할 수 없습니다. 그러나, 그것은 완전한 적분이기 때문에, 우리는 MacLaurin 시리즈를 사용할 수 있으며, 용어 통합에 의한 용어를 수행 할 수 있습니다.

MacLaurin 시리즈를 찾아야합니다. 우리가 그 함수의 n 번째 미분을 발견하기를 원하지 않기 때문에, 우리는 이미 우리가 알고있는 MacLaurin 시리즈 중 하나에 그것을 적용 할 필요가있을 것입니다.

첫째, 우리는 싫어한다. #로그#; 우리는 그것을 # ln #. 이를 위해 기본 수식의 변경을 간단히 적용 할 수 있습니다.

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

그래서 우리는:

# int_0 ^ xln (1-t) / (tln (10)) dt #

왜 우리가이 일을합니까? 글쎄, 지금 주목해라. # d / dxln (1-t) = -1 / (1-t) # 왜 이렇게 특별한가? 잘, # 1 / (1-x) # 우리가 일반적으로 사용하는 MacLaurin 시리즈 중 하나입니다.

# 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n #

…모든 #엑스# …에 #(-1, 1#

그래서, 우리는이 관계를 우리의 장점으로 사용할 수 있습니다. #ln (1-t) # 와 # int-1 / (1-t) dt #, 우리가 그것을 대체 할 수있게 해준다. # ln # 용어는 MacLaurin 시리즈입니다. 이것을 함께 쓰면:

1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n dt # (1-t) / (tln (10)) = -1 /

적분 평가:

(n + 1) / (n + 1) = 1 / (t1n (10)) t + t2 / 2 + t3 / 3 + t4 / 4 + #

취소하기 #티# 분모의 용어:

(n + 1) = 1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2 / 3 + t ^ 3 / 4 +

그리고 이제 우리는 우리가 문제를 시작한 명확한 통합을 취합니다:

(1 + t / 2 + t ^ 2 / 3 + t ^ 3 / 4 + … + t ^ (n) / (n + 1)) dt #

노트:이 문제에서 우리가 이제 0으로 나누는 것에 대해 걱정할 필요가 없다는 것을 관찰하십시오. 이것은 문제가되는 원래의 피할 랜드에서 우리가 겪었던 문제입니다. #티# 분모의 항. 이것은 이전 단계에서 취소되었으므로 불연속이 제거 가능하다는 것을 보여 주며 이는 우리에게 유리합니다.

(n + 1) / (n + 1) = 1 / (ln (10)) t + t2 / 4 + t3 / 9 + t4 / 16 + 2 # 평가 한 #0# 에 #엑스#

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2 / 4 + x ^ 3 / 9 + x ^ 4 / 16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 2 - 0 #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2 / 4 + x ^ 3 / 9 + x ^ 4 / 16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 2 #

하지만이 시리즈가 그 구간에서만 좋은 것임을 깨달으십시오. #(1, 1#왜냐하면 우리가 위에서 사용했던 MacLaurin 시리즈는이 간격에만 수렴하기 때문입니다. 이 그래프가 어떻게 생겼는지 더 잘 알기 위해 만든 그래프를 확인하십시오.

희망이 도움이:)