E ^ x의 Maclaurin 시리즈를 사용하여 f (t) = (e ^ t - 1) / t에 대한 Maclaurin 시리즈의 처음 세 용어를 어떻게 찾을 수 있습니까?

우리는 Maclaurin 시리즈가 # e ^ x # ~이다.

#sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) #

우리는 Maclaurin 확장을 사용하여이 시리즈를 도출 할 수 있습니다. # (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ ((n)) (0) x ^ n / (n!) # 그리고 모든 파생 상품 # e ^ x # 아직 # e ^ x # 과 # e ^ 0 = 1 #.

이제 위의 시리즈를 다음으로 대체하십시오.

# (e ^ x-1) / x #

# = (sum_ (n = 0) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x #

# = (1 + sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x #

# = (sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!))) / x #

# = sum_ (n = 1) ^ oox ^ (n-1) / (n!) #

색인을에서 시작하려면 # i = 0 #, 단순히 대용 # n = i + 1 #:

# = sum_ (i = 0) ^ oox ^ i / ((i + 1)!) #

이제 처음 세 가지 조건을 평가하면됩니다.

# ~~ 1 + x / 2 + x ^ 2 / 6 #

이항 정리를 사용하여 확장 (2x-1) ^ 11에서 첫 번째와 세 번째 용어를 찾습니다.

(ax + b) ^ n = sum_ (r = 0) ^ n ((n), (r)) (ax) (nr)! (ax) ^ rb ^ (nr) 그래서 우리는 rin {0,1,2,9}를 원한다. (1) = - 1 (11) / (1) = 1 (1) = 11 (11) (11-1)) (2x) ^ 1 (-1) ^ 10 = 11 (2x) (1) = 22x (11) / (2! (11-2) -1) ^ 9 = 55 (4x ^ 2) (- 1) = - 220x ^ 2 (11) / (9! (11-9)!) (2x) ^ 9 (-1) ^ 2 = 55 (1x) = 11 (1024x10) (- 1) = - (10x10 ^ 11) (1) = 2048x ^ 11 이것들은 첫 번째와 세 번째이다. (1111) / (11! (11-11)!) (2x) ^ 11 (-1) ^ 0 = 1 (2048x ^ 11) (1) = 2048x ^ 11 증가하는 x의 순서로 3 항 : -122x, -220x ^ 2,28160x ^ 9, -11264x ^ 10,2048x ^ 11

적분 테스트를 사용하여 시리즈의 수렴 또는 발산을 결정하십시오 : n = 1에서 무한대까지의 합 n e ^ -n?

정수인 int_1 ^ ooxe ^ -xdx를 가져 와서 sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n)을 경계한다는 것을 유의하십시오. 따라서 수렴이므로 sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n)도 마찬가지입니다. 적분 테스트의 공식 진술은 fin [0, oo]가 rightarrowRR이면 음이 아닌 단조 감소 함수를 나타냅니다. 그러면 sum_ (n = 0) ^ oof (n)은 "sup"_ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx가 유한 경우에만 수렴됩니다. (Tau, Terence, Analysis I, 초판, 힌두 스탄 서 기관 2009). 이 문장은 조금 기술적 인 것 같지만 아이디어는 다음과 같습니다. 이 경우 함수 f (x) = xe ^ (- x)를 취하면 x> 1 일 때이 함수가 감소한다는 것을 알 수 있습니다. 우리는 파생물을 가지고 이것을 볼 수 있습니다. x> 1이므로, (1-x) <0이고 e ^ (- x) <0이므로, f '(x) = e ^ (-x)> 0이다. 이것 때문에, 우리는 f (x)> = f (n) 인 x <= n 인 어떤 ninNN _ (> = 2)와 x의 [1, oo] 그러므로, sum_

이 Maclaurin 시리즈를 확장하는 방법? f (x) = int_0 ^ xlog (1-t) / tdt

(n + 1) / (n + 1) / (n + 1) 1) ^ 2] Visual :이 그래프를 확인하십시오 우리는 우리가 배운 일반적인 통합 기술을 사용함에 따라이 적분을 평가할 수 없습니다. 그러나, 그것은 완전한 적분이기 때문에, 우리는 MacLaurin 시리즈를 사용할 수 있으며, 용어 통합에 의한 용어를 수행 할 수 있습니다. MacLaurin 시리즈를 찾아야합니다. 우리가 그 함수의 n 번째 미분을 발견하기를 원하지 않기 때문에, 우리는 이미 우리가 알고있는 MacLaurin 시리즈 중 하나에 그것을 적용 할 필요가있을 것입니다. 첫째, 우리는 로그를 좋아하지 않습니다. 우리는 그것을 만들고 싶어. 이를 위해 기본 공식의 변경을 간단히 적용 할 수 있습니다 : log (x) = ln (x) / ln (10) 그래서 우리는 다음과 같습니다 : int_0 ^ xln (1-t) / (tln (10)) dt 우리가 이러는거야? 음, 이제 d / dxln (1-t) = -1 / (1-t)임을 알 수 있습니다. 왜 이렇게 특별합니까? 음, 1 / (1-x)는 일반적으로 사용되는 MacLaurin 시리즈 중 하나입니다 : 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + ... = sum_ (n = 0)