적분 테스트를 사용하여 시리즈의 수렴 또는 발산을 결정하십시오 : n = 1에서 무한대까지의 합 n e ^ -n?

대답:

적분 # int_1 ^ ooxe ^ -xdx #, 이는 유한이며, 경계 #sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) #. 따라서 수렴성이 있으므로 #sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) # 입니다.

설명:

적분 시험의 공식 진술은 #fin 0, oo) rightarrowRR # 음이 아닌 단조 감소 함수. 그런 다음 #sum_ (n = 0) ^ oof (n) # 다음 경우에만 수렴됩니다. # "sup"_ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx # 유한하다. (Tau, Terence, Analysis I, 초판, 힌두 스탄 서 기관 2009).

이 문장은 조금 기술적 인 것 같지만 아이디어는 다음과 같습니다. 이 경우 함수를 사용합니다. #f (x) = xe ^ (- x) #, 우리는 #x> 1 #이 기능은 감소하고 있습니다. 우리는 파생물을 가지고 이것을 볼 수 있습니다. (x) = (1-x) e ^ (- x) <0 #이후 #x> 1 #, 그래서 # (1-x) <0 # 과 #e ^ (- x)> 0 #.

이 때문에 우리는 #ninNN _ (> = 2) # 과 #x in 1, oo) # 그렇게 #x <= n # 우리는 #f (x)> = f (n) #. 따라서 (n-1) ^ nf (n) dx = f (n) # int (n-1), 그래서 (x) dx = f (1) + int_1 ^ Nf (x) = Nf (n) = Nf (n) DX #.

(x) = - xe ^ (- x) | _1 ^ oo + int_1 ^ ooe ^ (x) dx = int_1 ^ ooxe ^ (-x) dx ## = - xe ^ (- x) -e ^ (- x) | ^ oo_1 = 2 / e # 부품을 통한 통합 사용 #lim_ (xrightarrowoo) e ^ -x = lim_ (xrightarrowoo) xe ^ -x = 0 #.

이후 #f (x)> = 0 #, 우리는 # e / 2 = int_1 ^ oof (x) dx> = int_1 ^ Nf (x) dx #, 그래서 #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + 2 / e = 3 / e #. 이후 #f (n)> = 0 #, 시리즈 #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) # 증가하다 #엔# 증가합니다. 그것이에 묶여 있기 때문에 # 3 / e #, 수렴해야합니다. 따라서 #sum_ (n = 1) ^ oof (n) # 수렴.