N = 1에서 n = 0까지의 합계 1 / (n + sqrt (n))에 대한 한계 비교 테스트를 어떻게 사용합니까?

대답:

#sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # diverges, 이것은 이것을 다음과 비교하여 볼 수 있습니다. #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) #.

설명:

이 시리즈는 양수의 합이므로 수렴 시리즈를 찾아야합니다 #sum_ (n = 1) ^ (oo) a_n # 그렇게 # a_n> = 1 / (n + sqrt (n)) # 우리의 시리즈가 수렴성이 있다고 결론을 내리거나, 또는 우리는 # a_n <= 1 / (n + sqrt (n)) # 우리의 시리즈는 다른 것으로도 결론을 짓는다.

우리는 다음과 같이 말했습니다:

에 대한

#n> = 1 #, #sqrt (n) <= n #.

따라서

# n + sqrt (n) <= 2n #.

그래서

# 1 / (n + sqrt (n))> = 1 / (2n) #.

그것은 잘 알려져 있기 때문에 #sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # 갈라지다. #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) # 또한 수렴 할 경우 # 2sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) = sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # 수렴 할 것입니다. 그리고 이것은 사실이 아닙니다.

이제 비교 테스트를 사용하여 #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # 갈라진다.

한도 비교 테스트에는 두 가지 시리즈가 있으며, # suma_n # 과 # sumb_n # 어디에 #a_n> = 0 #, # b_ngt0 #.

만약 #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = L # 어디에 #L> 0 # 그리고 유한하다면, 두 시리즈 중 하나가 수렴하거나 두 시리즈가 서로 갈라진다.

우리는 # a_n = 1 / (n + sqrtn) #, 지정된 시리즈의 순서 좋은 # b_n # 선택은 강력한 기능입니다. # a_n # 접근하다 #엔# 크다. 그래서,하자. # b_n = 1 / n #.

유의 사항 # sumb_n # diverges (고조파 시리즈).

그래서 우리는 # (n / sqrtn) / (1 / n) = lim_ (nrarroo) n / (n + sqrtn). 를 통해 계속해서 나누기 # n / n #, 이것이된다. #lim_ (nrarroo) 1 / (1 + 1 / sqrtn) = 1 / 1 = 1 #.

한도는 #1#, 이는 #>0# 정의 된 바와 같이 # suma_n # 과 # sumb_n # 둘 다 갈라 지거나 수렴 할 것이다. 우리가 이미 알고 있기 때문에 # sumb_n # 갈라지면, 우리는 # suma_n = 합계 (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrtn) # 갈라진다.