X = 5에서 f (x) = (x-3) / (x-4) ^ 2의 접선의 방정식은 무엇입니까?

접선의 등식은 다음과 같은 형식입니다.

# y = 색상 (주황색) (a) x + 색상 (보라색) (b) #

어디에 #에이# 이 직선의 기울기입니다.

이 접선의 경사를 찾으려면 #f (x) # 지점에서 # x = 5 # 우리는 차별화해야한다. #f (x) #

#f (x) # 형태의 지수 함수이다. # (u (x)) / (v (x)) #

어디에 #u (x) = x-3 # 과 #v (x) = (x-4) ^ 2 #

#color (blue) (f '(x) = (u'(x)

# u '(x) = x'-3'#

#color (빨강) (u '(x) = 1) #

#v (x) # 는 합성 함수이므로 체인 규칙을 적용해야합니다.

방해 # g (x) = x ^ 2 # 과 #h (x) = x-4 #

#v (x) = g (h (x)) #

#color (red) (v '(x) = g'(h (x)) * h '(x)) #

# g '(x) = 2x # 그때

# 2 '(h (x)) = 2 (h (x)) = 2 (x-4) #

#h '(x) = 1 #

#color (red) (v '(x) = g'(h (x)) * h '(x)) #

#color (red) (v '(x) = 2 (x-4) #

#color (blue) (f '(x) = (u'(x)

(x-4) ^ 2) ^ 2 # (x-3)) / ((x-4) ^ 2)

(x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / (x-4)

(x-4) ^ 4 # (x-4) (x-4)

(x-4) (x-4-2x + 6)) / (x-4)

(x-4) (x-2)) / (x-4) ^ 4 #

공통 요소 단순화 # x-4 # 분자와 분모 사이

#color (파랑) (f '(x) = (- x + 2) / (x-4) ^ 3) #

접선이 점을 통과하기 때문에 # x = 5 # 그래서 우리는 기울기의 값을 찾을 수 있습니다. #에이# 대체하여 # x = 5 # …에서 # f '(x) #

#color (오렌지색) (a = f '(5)) #

# a = (- 5 + 2) / (5-4) ^ 3 #

# a = -3 / 1 ^ 3 #

#color (오렌지색) (a = -3) #

접선 점의 가로 좌표를 감안할 때 #color (갈색) (x = 5) # ~시키다

그것의 세로 좌표를 찾는다. # y = f (5) #

#color (갈색) (y = f (5)) = (5-3) / (5-4) ^ 4 #

# y = 2 / 1 #

#color (갈색) (y = 2) #

접선 점의 좌표를 가짐 #color (갈색) ((5; 2)) # 및 경사 #color (오렌지색) (a = -3) # 찾을 수 있습니다. #color (보라색) (b) #

접선의 방정식에있는 모든 알려진 값을 값을 찾기 위해 대용 할 수 있습니다. #color (보라색) (b) #

#color (갈색) (y) = 색상 (주황색) (a) 색상 (갈색) (x) + 색상 (보라색) (b) #

# 2 = -3 (5) + 색 (보라색) (b) #

# 2 = -15 + color (보라색 (b) #

# 17 = 색상 (보라색) (b) #

그러므로, 점에서의 접선의 방정식 #color (갈색) ((5; 2)) #:

# y = -3x + 17 #