평화 회의에서 m 화성인과 n 지구인이 있다고 가정합니다. 화성인들이 회의에서 평화롭게 지낼 수 있도록, 우리는 두 명의 화성인이 함께 앉아서, 어떤 두 명의 화성인 사이에 적어도 하나의 지구인이 존재하도록해야합니까? (세부 사항 참조)

대답:

에이) # (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!) #

비) # (n! (n-1)!) / ((n-m)!) #

설명:

추가 추론 외에도 세 가지 일반적인 기술을 사용합니다.

첫째, 우리는 그것이 존재한다면 #엔# 한 가지 방법과 #엠# 다른 작업을 수행하는 방법은 작업이 독립적이라고 가정합니다 (하나에 대해 수행 할 수있는 작업은 다른 작업에 의존하지 않습니다). # nm # 둘 다 할 수있는 방법. 예를 들어 셔츠 다섯 개와 바지 세 쌍이 있다면 #3*5=15# 내가 할 수있는 의상.

둘째, 주문 방법의 수를 사용합니다. #케이# 개체가 #케이!#. 존재하기 때문입니다. #케이# 첫 번째 물체를 선택하는 방법, 그리고 나서 # k-1 # 두 번째 선택 방법, 기타 등등. 따라서 총 방법 수는 (k-1) (k-2) … (2) (k)

마지막으로, 우리는 선택 방법의 수를 사용할 것입니다. #케이# 집합의 개체 #엔# 개체가 # (n), (k)) = (n!) / (k! (n-k) (발음: n을 선택한다.). 이 수식에 도달하는 방법에 대한 개요가 여기에 나와 있습니다.

a) 처음에 나누기를 무시하면 #엠!# 화성인을 주문하는 방법과 #엔!# 지구를 주문하는 방법. 마침내, 우리는 화성인들이 어디에 위치 하는지를 볼 필요가 있습니다. 각 화성인이 끝나거나 두 명의 Earthlings 사이에 배치되어야하기 때문에, # n + 1 # 그들이 앉을 수있는 위치 (모든 지구인의 왼쪽에 하나, 맨 오른쪽에 하나). 거기있는 그대로 #엠# 화성인들, 즉 # ((n + 1), m) = ((n + 1) 그들을 배치 할 수있는 방법. 따라서 총 가능한 좌석 배치는

(n + 1)!) = (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!) #n! m! ((n + 1)

b)이 문제는 위와 유사합니다. 일을 더 간단하게하기 위해, 지구인을 골라 대통령으로 부르 자. 원이 어떻게 회전하는지는 중요하지 않으므로 절대 주문을 기반으로 한 좌석 배치를 언급하는 대신 회장과의 관계를 기반으로 좌석 배치를 고려합니다.

위와 마찬가지로, 우리가 회장에서 시작하여 원 주위를 시계 방향으로 계속하면 남은 참석자를 주문하는 방법의 수를 계산할 수 있습니다. 거기있는 그대로 #엠# 화성인들과 # n-1 # 남아있는 지구인들, #엠!# 화성인을 주문하는 방법과 # (n-1)! # 나머지 지구인들을 주문하는 방법.

다음으로 우리는 다시 한번 화성인 배치를해야합니다. 이번에는 마지막에 추가 지점이 없으므로 #엔# 그들이 앉을 수있는 위치. 그런 다음 # (n), (m)) = (n!) / (m! (n-m) 그들을 배치하는 방법. 따라서 총 가능한 좌석 배치는

(n-m)!) = (n-1)!) / ((n-m)!) # (n-1)