미분 방정식 dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2에 대한 해답은 무엇입니까?

대답:

일반적인 해결책은 다음과 같습니다.

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

설명:

우리는:

# dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 #

유사한 변수에 대한 용어를 수집 할 수 있습니다.

# 1 / (y-1) ^ 2 dy / dt = e ^ t #

분리 가능한 First Order Ordinary 비선형 미분 방정식입니다. "변수 분리" 얻으려면:

# int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

두 가지 적분은 표준 함수의 적분이므로 해당 지식을 사용하여 직접 적분 할 수 있습니다.

# -1 / (y-1) = e ^ t + C #

그리고 우리는 쉽게 다시 정렬 할 수 있습니다. #와이#:

# - (y-1) = 1 / (e ^ t + C) #

#:. 1-y = 1 / (e ^ t + C) #

일반 솔루션으로 연결:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

대답:

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #

설명:

이것은 분리 가능한 미분 방정식입니다. 즉 다음과 같은 형식으로 작성할 수 있습니다.

# dy / dx * f (y) = g (x) #

양측을 통합하여 해결할 수 있습니다.

#int f (y) dy = int g (x) dx #

우리의 경우, 먼저 적분을 올바른 형태로 분리해야합니다. 우리는 양측을 # (y-1) ^ 2 #:

(y-1) ^ 2) / (y-1) ^ 2 = e ^ tcancel ((y-1) ^ 2 /

# dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ t #

이제 양면을 통합 할 수 있습니다.

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = e ^ t + C_1 #

우리는 좌변을 적분으로 풀 수있다. # u = y-1 #:

#int 1 / u ^ 2 du = e ^ t + C_1 #

#int u ^ -2 du = e ^ t + C_1 #

# u ^ -1 / (- 1) + C_2 = e ^ t + C_1 #

재 치환 (및 상수 결합)은 다음을 제공합니다.

-1 / (y-1) = e ^ t + C_3 #

양쪽에 # y-1 #:

# -1 = (e ^ t + C_3) (y-1) #

양면을 # e ^ t + C_3 #:

# -1 / (e ^ t + C_3) = y-1 #

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #