X가 (1 + a / x) ^ (bx)의 무한대에 접근함에 따라 한계는 얼마입니까?

로그 (logarithm)와 호 피탈의 규칙 (l' Hopital 's Rule)

#lim_ {x to infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab} #.

대체를 사용하여 # t = a / x # 또는 동등하게 # x = a / t #, # (1 + a / x) ^ {bx} = (1 + t) ^ {{ab} / t} #

로그 특성을 사용함으로써,

(1 + t) = e ^ {lb (l + t)} = }/티}#

나는 호 피탈의 규칙에 따라, (1 + t)} / {t} = lim_ {t ~ 0} {1 / {1 + t}} / {1} = 1 #

금후, (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab lim_ {0} {ln (1 + t)} / {t}} = e ^ {ab} #

(노트: #t ~ 0 # 같이 #x ~ infty #)