초등 함수의 관점에서이 적분을 표현할 수 없습니다.
통합이 필요한 대상에 따라 통합 방법이나 다른 방법을 선택할 수 있습니다.
멱급도를 통한 통합
리콜 # e ^ x # 에 대한 분석 결과 #mathbb {R} #, 그래서 #forall x in mathbb {R} # 다음 평등이 성립한다
# e ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} x ^ n / {n!} #
이것은
{n}} = {{{{{{{{{{{{{{}} }/{엔!}#
이제 통합 할 수 있습니다.
dx = c + sum_ {n = 0} ^ {+ in_ {0}} {x ^ {3} }} {x ^ {3n + 1}} / {(3n + 1)
불완전 감마 함수를 통한 통합
첫째, 대체 # t = -x ^ 3 #:
#int e ^ {x ^ 3} dx = - 1/3 int e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #
함수 # e ^ {x ^ 3} # 연속입니다. 이것은 원시 함수가 #F: mathbb {R} ~ mathbb {R} # 그렇게
#F (y) = c + int_0 ^ y e ^ {x ^ 3} dx = c-1 / 3 int_0 ^ {- y ^ 3} e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #
이 기능은 잘 정의되어 있습니다. # f (t) = e ^ {- t} t ^ {- 2/3} # ~을 위해 #t ~ 0 # 그것 보유 # f (t) ~~ t ^ {- 2/3} #, 따라서 부적절한 적분 # int_0 ^ s f (t) dt # 유한하다 (나는 # s = -y ^ 3 #).
그래서 당신은
#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1 / 3 int_0 ^ s f (t) dt #
주목해라. #t ^ {- 2/3} <1 시간 t> 1 #. 이것은 #t ~ + infty # 우리는 그것을 얻는다. (t) = e ^ {- t} * t ^ {- 2/3} <e ^ {- t} * 1 = e ^ {- t} #, 그렇게 # int_1 ^ {+ infty} f (t) dt | <int_1 ^ {+ infty} e ^ {- t} dt | = e #. 따라서 부적합한 #f (t) # 유한하다:
감마 (1/3) # c '= int_0 ^ {+ infty} f (t) dt = int_0 ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt = 감마.
우리는 쓸 수있다:
# int e ^ {x ^ 3} dx = c-1 / 3 (int_0 ^ {+ infty} f (t) dt -int_s ^ {+ infty} f
그건
#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1 / 3c '+1/3 int_s ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt #.
결국 우리는
# 감마 (1 / 3, t) = C + 1 / 3 감마 (1 / 3, -x ^ 3) #int e ^ {x ^ 3} dx = C + 1 /
