학교에서 일반적으로 가르쳐주지 않는 재미 있고 유용하며 수학적인 사실은 무엇입니까?

대답:

"지수의 탑"을 평가하는 방법 #2^(2^(2^2))#, 및의 마지막 자리를 계산하는 방법 # 2 ^ n, # # ninNN #.

설명:

이러한 "탑"을 평가하기 위해 우리는 맨 위에서 시작하여 아래로 나아갑니다.

그래서:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

비슷한, 그러나 약간 관련이없는 노트에, 나는 또한 마지막 숫자를 어떻게 풀어 낼지 안다. #2# 자연 지수로 올랐다. 의 마지막 자릿수 #2# 뭔가를 높이면 항상 네 가지 값 사이를 순환합니다. #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

그래서 마지막 자리를 찾고 싶다면 # 2 ^ n #, 그것이 사이클에있는 장소를 찾아라. 그러면 당신은 그 마지막 숫자를 알 것이다.

대답:

만약 #n> 0 # 과 #에이# ~에 대한 근사치 #sqrt (n) #, 다음:

(2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #sqrt (n) = a + b / (2a +

어디에 #b = n-a ^ 2 #

설명:

우리가 어떤 수의 제곱근을 찾고 싶다고합시다. #n> 0 #.

더 나아가 우리는 그 결과가 각 단계에서 반복되는 일종의 연속적인 부분이되기를 바랍니다.

시험:

(2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #sqrt (n) = a + b / (2a +

(2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #color (흰색) (a +

#color (흰색) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)) #

덜다 #에이# 얻을 양쪽 끝에서:

#sqrt (n) -a = b / (a + sqrt (n)) #

양쪽에 #sqrt (n) + a # 얻으려면:

#b = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #

그래서 만약 # a ^ 2 # 조금 작다. #엔#, 그 다음에 #비# 작을 것이고 계속적인 부분은 더 빨리 수렴 할 것입니다.

예를 들어, # n = 28 # 선택하고 # a = 5 #, 그러면 우리는 얻는다.

# b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

그래서:

#sqrt (28) = 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3) / (10 + 3 / (10 + 3 / 10 +

우리에게 근사값을 준다.

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / 10 = 5.3 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3 / 10) = 545/103 ~~ 5.29126 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / 10)) = 5609/1060 ~~ 5.2915094 #

계산기가 나에게 말한다. #sqrt (28) ~~ 5.291502622 #

그래서 이것은 특히 빠르게 수렴하지 않습니다.

또는 # n = 28 # 과 # a = 127 / 24 # 찾다:

# 28 = 26129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #

그래서:

#sqrt (28) = 127 / 24- (1/576) / (127/12- (1/576) / (127/12- (1/576) / (127/12 -…)

우리에게 근사치를주는:

#sqrt (28) ~~ 127/24 = 5.291bar (6) #

#sqrt (28) ~~ 127 / 24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~~ 5.29150262467 #

그것은 훨씬 더 빨리 수렴하고 있습니다.

대답:

재귀 적으로 정의 된 시퀀스를 사용하여 제곱근에 대한 근사를 찾을 수 있습니다.

설명:

#color (흰색) () #

방법

주어진 양의 정수 #엔# 완벽한 광장이 아닙니다.

• 방해 #p = 층 (sqrt (n)) # 제곱이 초과하지 않는 최대 양의 정수 #엔#.

• 방해 #q = n-p ^ 2 #

• 다음과 같이 정수 시퀀스를 정의하십시오.

  "i> = 1"에 대해 # {(a_1 = 1), (a_2 = 2p), (a_ (i + 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "

그러면 연속열의 연속 항 사이의 비율은 # p + sqrt (n) #

#color (흰색) () #

예

방해 # n = 7 #.

그때 #p = floor (sqrt (7)) = 2 #이후 #2^2=4 < 7# 그러나 #3^2 = 9 > 7#.

그때 # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

그래서 우리의 순서가 시작됩니다:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

이론적으로 연속적인 용어 사이의 비율은 # 2 + sqrt (7) #

어디 보자:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

유의 사항 # 2 + sqrt (7) ~~ 4.645751311 #

#color (흰색) () #

작동 원리

주어진 값에 의해 정의 된 시퀀스가 있다고 가정합니다. # a_1, a_2 # 규칙:

# a_ (n + 2) = 2p_a (n + 1) + q_an #

일부 상수의 경우 #피# 과 #큐#.

방정식을 고려해보십시오.

# x ^ 2-2px-q = 0 #

이 방정식의 근원은 다음과 같습니다.

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

그런 다음 일반 용어가있는 모든 시퀀스 # Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n # 우리가 지정한 재발 규칙을 만족시킬 것입니다.

다음 해결:

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1), (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):} #

…에 대한 #에이# 과 #비#.

우리는 찾는다:

# a_1x_2-a_2 = Ax_1 (x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

따라서:

# A = (a_1x_2-a_2) / (x_1 (x_2-x_1)) #

# B = (a_1x_1-a_2) / (x_2 (x_1-x_2)) #

그래서 이러한 # x_1, x_2, A, B # 우리는:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

만약 #q <3p ^ 2 # 그때 #abs (x_2) <1 # 연속 용어 간의 비율은 # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

대답:

모듈러 부문

설명:

모듈 형 분할은 실제 값 대신 나머지가되는 것을 제외하고는 분할과 동일합니다. 오히려 #-:# 기호를 사용하면 #%# 상징.

예를 들어, 일반적으로, #16-:5# 너는 얻을 것이다 #3# 나머지 #1# 또는 #3.2#. 그러나 모듈러 부문을 사용하면, #16%5=1#.

대답:

합계가있는 사각형 평가

설명:

일반적으로 다음과 같은 사각형을 알아야합니다. #5^2=25#. 그러나 숫자가 커지면 #25^2#머리 꼭대기에서 알기가 더 어려워집니다.

나는 잠시 후에 사각형이 단지 홀수 인 것을 깨달았다.

나는 이것이 무엇을 의미합니까?

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # 어디에 #케이# 기본 값을 뺀 값입니다. #1#

그래서 #5^2# 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

그것은 당신에게 줄 것입니다:

#1+3+5+7+9#

사실 이것은 #25#.

숫자는 항상 #2#, 나는 첫 번째와 마지막 숫자를 더한 다음에 다음과 같이 곱할 수 있습니다. # k / 2 #.

그래서 #25^2#

#sum_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49 #

그래서 나는 단지 할 수있다. #(49+1)(25/2)# 그리고 얻다 #25^2# 그것은 #625#.

실용적이지는 않지만 흥미로운 점은 알고 있습니다.

#color (흰색) () #

보너스

그것을 아는 것은:

(1 + (2n-1)) / 2) ^ 2 # n ^ 2 = overbrace (1 + 3 + 5 + … + (2n-

우리는 사각형의 차이에 대한 몇 가지 문제를 해결할 수 있습니다.

예를 들어, 양의 정수로 된 모든 해는 무엇인가? #m, n # 의 # m ^ 2-n ^ 2 = 40 # ?

이것은 연속 된 홀수 정수의 합계가 #40#…

# 40 = overbrace (19 + 21) ^ "평균 20"#

#color (흰색) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #

#color (흰색) (40) = ((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2) ^ 2 #

#color (흰색) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = overbrace (7 + 9 + 11 + 13) ^ "평균 10"#

#color (흰색) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

#color (흰색) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 - ((1 + 5) / 2) ^ 2 #

#color (흰색) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #