시험관이 질문에 2 점 이상을 주어 8 가지 질문에 30 점을 부여 할 수있는 방법은?

대답:

#259459200#

설명:

만약 내가 정확하게 이것을 읽고 있다면, 심사관이 2의 배수로 만 점수를 부여 할 수 있다면, 그러면 30 점 중 15 점이 선택된다는 것을 의미합니다. #30/2 = 15#

그런 다음 8 가지 질문에 15 가지 선택 사항이 있습니다.

순열에 대한 수식 사용:

# (n!) / ((n - r)!) #

어디에 #엔# 객체의 수입니다 (이 경우 2 개의 그룹으로 표시).

과 #아르 자형# 한 번에 얼마나 많은 사람들이 뽑혔 는가 (이 경우 8 가지 질문)

그래서 우리는:

#(15!)/((15 - 8)!) = (15!)/(7!) = 259459200#

대답:

있다 # ""_ 21C_14 # (또는 116,280) 가지 방법으로

설명:

우리는 "은행"에서 30 점을주고 시작합니다. 모든 질문은 최소한 2 점 이상의 가치가 있어야하므로 # 2 xx 8 = 16 # 마크의 #30# 그들을 균등하게 분배하십시오. 이제 각 질문에는 2 (지금까지)가 있고 "은행"은 #30-16=14# 점수.

이제 우리는 8 가지 질문 중에서 남은 14 가지 점수를 나눠 줄 수있는 방법을 찾아야합니다. 처음에는 이것이 매우 어려워 보일 수 있지만 더 직관적 인 트릭이 있습니다.

잠시 동안 단순화하자. 우리는 단지 2 개의 질문 만 가지고 있고, 14 개의 점수가 그들 사이에서 나뉘어 진다면 어떨까요? 얼마나 많은 방법으로 그렇게 할 수 있습니까? 음, 우리는 14 + 0, 또는 13 + 1, 또는 12 + 2 등 … 또는 1 + 13, 또는 0 + 14로 표시를 나눌 수 있습니다. 즉, 우리는 단지 하나의 분할 (2 개의 질문 사이에서), 우리는 그것을하는 15의 방법을 얻는다.

이것은 "얼마나 많은 독특한 방법으로 14 개의 노란 구슬 (표식)과 1 개의 푸른 대리석 (질문 분리 자)을 연속으로 배열 할 수 있습니까?"라고 질문하는 것과 같습니다. 이것에 대한 해답은 모든 15 개의 대리석의 순열의 수를 계산함으로써 발견됩니다 (이는 #15!#), 그 다음에 노란색 구슬을 모두 바꾸는 방법의 수로 나눈다 #(14!)# 푸른 구슬 #(1!)#각 배열 내에서 동일한 구슬이 나타나는 순서는 중요하지 않기 때문입니다.

따라서 노란색 대리석 (마르크) 14 개와 푸른 대리석 (질문 스플리터) 1 개가있을 때

# (15!) / (14! xx1) = (15xcancel (14!)) / (취소 (14!) xx1) = 15 /

구슬을 배열하는 15 가지 방법 (자국 나누기). 참고: 이것은 # ""_ 15C_14 #.

파란 대리석을 다시 소개하겠습니다. 즉, 두 번째 갈라진 틈 또는 자국에 줄 수있는 세 번째 질문입니다. 이제 총 16 개의 대리석이 있습니다. 우리는 얼마나 많은 독특한 방법으로 이들을 정렬 할 수 있는지 알고 싶습니다. 이전과 마찬가지로 #16!# 모든 구슬을 배열하는 방법, 그리고 노란색과 노란색을 모두 바꾸는 방법으로 나눕니다. #(14!)# 파란색과 파란색 #(2!)#:

# (16! 15) / (2) = 120 # (14! xx2xx1) = (16xx15xxcancel (14!))

그래서 세 가지 질문 사이에 14 개의 점수를 나누는 120 가지 방법이 있습니다. 이것은 또한 # ""_ 16C_14 #.

지금까지 우리가 어디로 향하고 있는지 알 수 있습니다. 왼쪽의 숫자는 #기음# 우리가 나누는 자국의 수와 같습니다 (노란 구슬). …을 더한 스플리터 (파란 대리석)의 수. 스플리터의 수는 항상 하나보다 작다. 질문의 수. 의 오른쪽에있는 숫자 #기음# 마크의 수를 유지합니다.

따라서 8 개의 질문 (나머지 7 개의 스플리터가 필요함) 중 나머지 14 개의 스플릿을 분리하기 위해

# ""_ (14 + 7) C_14 = ""_ 21C_14 #

#color (흰색) ("_ (14 + 7) C_14) = (21!) / (7! xx14!) #

#color (흰색) (""_ (14 + 7) C_14) = "116,280"#

그래서 8 개의 질문에 30 개의 점수를 부여하는 116,280 가지 방법이 있습니다. 각 질문은 최소한 2 점이되어야합니다.