Root (4) (84)에 대한 선형 근사를 어떻게 찾을 수 있습니까?

대답:

#root (4) (84) ~~ 3.03 #

설명:

유의 사항 #3^4 = 81#,에 가까운 #84#.

그래서 #root (4) (84) # ~보다 조금 큽니다. #3#.

더 나은 근사를 얻기 위해 선형 근사법, a.k.a. Newton의 방법을 사용할 수 있습니다.

밝히다:

#f (x) = x ^ 4-84 #

그때:

#f '(x) = 4x ^ 3 #

대략 0이 주어진다. # x = a # 의 #f (x) #더 좋은 근사값은 다음과 같습니다.

# a - (f (a)) / (f '(a)) #

그래서 우리의 경우, 퍼팅 # a = 3 #더 좋은 근사값은 다음과 같습니다.

3- (3 ^ 4-84) / (4 ^ 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1 / 36 = 109 / 36 = 3.02bar (7) #

이것은 거의 정확하다. #4# 중요한 수치이지만 근사치를 다음과 같이 인용 해 봅시다. #3.03#

대답:

# 루트 (4) (84) ~~ 3.02778 #

설명:

점 근처의 선형 근사 #에이# 다음에 의해 주어질 수있다:

#f (x) ~~f (a) + f '(a) (x-a) #

주어진 경우: #f (x) = 루트 (4) (x) #

다음에 적합한 선택 #에이# ~ 될거야. # a = 81 # 우리가 알고 있기 때문에 #root (4) 81 = 3 # 정확하게 그것은 가까이에있다. #84#.

그래서:

#f (a) = f (81) = 루트 (4) (81) = 3 #

또한;

#f (x) = x ^ (1/4) # 그래서 (x) = 1 / 4x ^ (-3/4) = 1 / (4root (4) (x) ^ 3) #f '

(4) (3) = 1 / (4 * 3 ^ 3) = 1 / 108 #

그러므로 우리는 #81#):

#f (x) ~~f (a) + f '(a) (x-a) #

#implies root (4) (x) ~~ 3 + 1 / (108) (x-81) #

그래서:

#root (4) (84) = 3 + 1 / 108 (84-81) #

#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#

보다 정확한 값은 다음과 같습니다. #3.02740#

선형 근사는 매우 가깝습니다.

대답:

#root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #

설명:

우리는 다음과 같은 기능을한다고 말할 수 있습니다. #f (x) = 루트 (4) (x) #

과 # 루트 (4) (84) = f (84) #

자, 우리 함수의 파생어를 찾아 보겠습니다.

우리는 power rule을 사용하는데, if #f (x) = x ^ n #, 그 다음에 #f '(x) = nx ^ (n-1) # 어디에 #엔# 상수입니다.

#f (x) = x ^ (1/4) #

=>#f '(x) = 1 / 4 * x ^ (1 / 4-1) #

=>#f '(x) = (x ^ (-3/4)) / 4 #

=>#f '(x) = 1 / x ^ (3/4) * 1 / 4 #

=>#f '(x) = 1 / (4x ^ (3/4)) #

자, 근사값으로 # 루트 (4) (84) #, 우리는 84에 가장 가까운 완벽한 4 차 전력을 찾으려고 노력합니다.

어디 보자 …

#1#

#16#

#81#

#256#

우리는 그것을 본다. #81# 우리가 가장 가까운 것입니다.

우리는 이제 우리 함수의 접선을 발견 할 수 있습니다. # x = 81 #

=># f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (3/4)) #

=>(81) = 1 / (4 * 81 ^ (2/4) * 81 ^ (1/4)) #

=># f '(81) = 1 / (4 * 9 * 3) #

=># f '(81) = 1 / 108 #

이것은 우리가 찾고있는 경사입니다.

형태의 접선의 방정식을 쓰자. # y = mx + b #

뭐라구? #와이# 동등한시기 # x = 81 #?

어디 보자 …

#f (81) = 루트 (4) (81) #

=>#f (81) = 3 #

그러므로 우리는 이제 다음을 얻었습니다.

# 3 = m81 + b # 우리는 그 경사, #엠#,이다 #1/108#

=># 3 = 1 / 108 * 81 + b # 이제 우리는 다음과 같이 풀 수 있습니다. #비#.

=># 3 = 81 / 108 + b #

=># 3 = 3 / 4 + b #

=># 2 1 / 4 = b #

따라서 접선의 방정식은 다음과 같습니다. # y = 1 / 108x + 2 1 / 4 #

우리는 지금 84 대신에 84를 사용합니다. #엑스#.

=># y = 1 / 108 * 84 + 2 1 / 4 #

=># y = 1 / 9 * 7 + 2 1 / 4 #

=># y = 7 / 9 + 9 / 4 #

=># y = 28 / 36 + 81 / 36 #

=># y = 109 / 36 #

=># y = 3.02bar7 #

따라서, #root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #