F (x) = arctan (x)의 Taylor 계열은 무엇입니까?

2n + 1} = {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} /

몇 가지 세부 사항을 살펴 보겠습니다.

#f (x) = arctanx #

(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} #

기하학적 멱급수

# 1 / {1-x} = sum_ {n = 0} ^ infty x ^ n #

대체하여 #엑스# 으로 # -x ^ 2 #, (1) ^ nx ^ {2n} ^ {n} = 0} ^ {1 - (^ x ^ 2) #

그래서, #f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

통합함으로써, #f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx #

합계 안에 사인을 넣으면, # = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ n x ^ {2n} dx #

전원 규칙에 의해, (2n + 1)} / {2n + 1} + C #인데,

이후 #f (0) = arctan (0) = 0 #, C = C Rightarrow C = 0 # {2n + 1} + {2n + 1} + C =

금후, 2n + 1} = {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} /