도와 줄래? int_0 ^ (pi / 2) (e ^ (2x) * sinx) dx

대답:

# = (2e ^ (pi) +1) / 5 #

설명:

이를 위해서는 다음과 같이 부품별로 통합해야합니다. 한계는 끝까지 생략 될 것입니다.

#int (e ^ (2x) sinx) dx #

#color (빨간색) (intu (dv) / (dx) dx) = uv-intv (du) / (dv) dx #

# u = e ^ (2x) => du = 2e ^ (2x) dx #

# (dv) / (dx) = sinx => v = -cosx #

#color (red) (I) = - e ^ (2x) cosx + int2e ^ (2x) cosxdx #

두 번째 적분은 또한 부품에 의해 수행됩니다.

# u = 2e ^ (2x) => du = 4e ^ (2x) dx #

# (dv) / (dx) = cosx => v = sinx #

#color (red) (I) = - e ^ (2x) cosx + 2e ^ (2x) sinx-int4e ^ (2x) sinxdx

#color (red) (I) = - e ^ (2x) cosx + 2e ^ (2x) sinx-4color (red) (I) #

# 5I = e ^ (2x) (2sinx-cosx) #

# I = (e ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 #

이제 한계를 안으로 넣어

#I = (e ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 _0 ^ (pi / 2) #

(5) - (e ^ (0) (sin0-cos0) / 5) # =

# 1 / 5e ^ pi 2-0 +1/5 -0 + 1 #

# = (2e ^ (pi) +1) / 5 #

대답:

# {2e ^ pi + 1} / 5 #

설명:

이미 제공된 대답은 완벽하지만, 복잡한 대답을 통해 약간 더 진보 된 접근 방식을 사용하여 동일한 대답에 도달하는 쉬운 방법을 지적하고자했습니다.

우리는 유명한 관계로 시작합니다.

# e ^ {ix} = cos (x) + sin (x) #

어디에 # i = sqrt {-1} #, 이것이 의미하는 바는

(x ^ 2) = Im (e ^ {(2 + i} x)) #

어디에 # Im # 는 허수 부를 나타낸다.

그래서

(2 + i) x} dx) = {1 / 2} ex {

2) -1} / {2+ (i + 1)}) = Im (e ^ {pi} / {2} 나는})#

(2-i) / (2-i)) = 1 / 5im ((- 1 + ie ^ pi) (2-i) #

# = 1 / 5 ((-1) 회 (1) + e ^ pi 회 2) = {2e ^ pi + 1} / 5 #