대답:
수렴하는 # 1 + i # (내 Ti-83 그래프 계산기에서)
설명:
방해 # - S = sqrt {-2 + 2 sqrt {- 2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}}
먼저,이 무한 수열이 수렴한다고 가정하면 (즉, S가 존재하고 복소수의 값을 취한다고 가정)
# 2 ^ -2 = 2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# 2 + 2 = 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
2-sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}} # # frac {S ^ 2 + 2}
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = S #
그리고 S를 풀면:
# S ^ 2 + 2 = 2S, S ^ 2 - 2S + 2 = 0 #
당신이 얻는 2 차 방정식을 적용하면:
# 2 = {2} {2} {2} {2} {2} {2 pm} 1 pm i #
보통 제곱근 함수는 양의 값을 취합니다. # S = 1 + i #
따라서 수렴하면 수렴해야합니다. # 1 + i #
이제 당신이해야 할 일은 그것이 수렴한다는 것을 증명하는 것입니다. 만약 당신이 저처럼 게으른다면 당신은 플러그를 꽂을 수 있습니다. # sqrt {-2} # 허수를 처리하고 반복 관계를 사용할 수있는 계산기로 변환합니다.
# f (1) = sqrt {-2} #
# f (n + 1) = sqrt {-2 + 2 sqrt {f (n)} #
나는 Ti-83에서 여러 번 반복했고 예를 들어 20 번 정도 어딘가에 반복 해 보면 가까이에 있다는 것을 알았다.
# 1.000694478 + 1.001394137i #
꽤 좋은 근사치
