ZZ ^ +에서 n에 대해 f (n) = 2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1)이 5로 나눌 수 있음을 증명함으로써 증명하십시오.

대답:

아래를 참조하십시오.

설명:

에 대한 참고 사항 #엠# 우리가 이상하다.

(m-1) -a ^ (m-2) b + a ^ (m-3) b ^ 2 + cdots -ab ^ (m -2) + b ^ (m-1) #

이는 확증을 입증합니다.

이제 유한 유도로.

에 대한 #n = 1 #

#2+3 = 5# 그것은 나눌 수있다.

지금 가정하면

# 2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1) # 우리가 나눌 수있다.

2 ^ 2 + 3 ^ (2n-1) 3 ^ 2 = # 2 (2n-1)

2 ^ 2 + 3 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 5 xx 3 ^ (2n-1) = #

# 2 ^ 2 (2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1)) + 5 xx 3 ^ (2n-1) # 에 의해 나눌 수있는 #5#

그래서 사실입니다.

자연수는 0, 3, 7로만 쓰여집니다. 완벽한 사각형이 존재하지 않음을 증명하십시오. 이 성명서를 어떻게 증명합니까?

대답 : 모든 완벽한 사각형은 1, 4, 5, 6, 9, 00 (또는 0000, 000000 등)로 끝납니다. 2, 색상 (빨간색) 3, 색상 (빨간색) 7, 8 및 색상 (빨강) 0은 완벽한 사각형이 아닙니다. 자연수가이 세 자리 숫자 (0, 3, 7)로 구성되어 있으면 숫자 중 하나에서 끝나야한다는 것은 필연적입니다. 이 자연수는 완벽한 광장이 될 수 없다는 것이 었습니다.

간접적으로 증명하십시오. n ^ 2가 홀수이고 n이 정수이면 n은 홀수입니까?

모순에 의한 증명 - 아래를 참조하십시오. 우리는 n ^ 2가 홀수이고 n이 ZZ에서 n이라고 말합니다. Z ^의 n ^ 2 n ^ 2는 홀수이고 n은 짝수라고 가정합니다. 따라서 어떤 k ZZ에 대해 n = 2k이고 짝수 정수인 n ^ 2 = nxxn = 2kxx2k = 2 (2k ^ 2)입니다. n ^ 2는 우리의 가정과 모순된다. 따라서 우리는 n ^ 2가 홀수 인 경우에도 n이 홀수 여야한다는 결론을 내려야합니다.

A ^ b + b ^ a가 a + b로 나눌 수 있도록 a> 1 및 b> 1 인 무한히 많은 뚜렷한 쌍 (a, b)가 있음을 증명하십시오.

아래를 참조하십시오. a = 2k + 1과 b = 2k + 3으로 만들면, a와 b는 co-primes이다. k + 1 = n으로 만들면 쉽게 나타낼 수있는 것처럼 (2n-1) ^ (2n + 1) + (2n + 1) ^ (2n-1) equiv 0 mod 4가됩니다. 또한 (2n-1) ^ (2n + 1) + (2n + 1) ^ (2n + 1)은 다음과 같이 쉽게 나타낼 수있다. ) a ^ 2k + 1 및 b = 2k + 3 a ^ b + b ^ a equiv 0 mod (a + b)에 대해 a와 b의 공동 소수 (co-primes) . 결론은 a ^ b + b ^ a가 a + b로 나눌 수 있도록 a> 1과 b> 1 인 무한히 많은 뚜렷한 쌍 (a, b)이 있다는 것입니다.