5a + 12b와 12a + 5b를 직각 삼각형의 한 변 길이라고하고, 13a + kb를 빗변이라고합시다. 여기서 a, b 및 k는 양의 정수입니다. k의 가능한 한 작은 값과 그 k에 대한 a와 b의 최소값을 어떻게 찾을 수 있습니까?

대답:

#k = 10 #, # a = 69 #, # b = 20 #

설명:

피타고라스의 정리에 따르면, 우리는:

# (13a + kb) ^ 2 = (5a + 12b) ^ 2 + (12a + 5b) ^ 2 #

그건:

# 169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^ 2 #

#color (흰색) (169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2) = 169a ^ 2 + 240ab + 169b ^ 2 #

찾기 위해 양쪽 끝에서 왼쪽을 뺍니다.

# 0 = (240-26k) ab + (169-k ^ 2) b ^ 2 #

#color (흰색) (0) = b ((240-26k) a + (169-k ^ 2) b) #

이후 #b> 0 # 우린 원한다:

# (240-26k) a + (169-k ^ 2) b = 0 #

그런 다음 #a, b> 0 # 우린 원한다 # (240-26k) # 과 # (169-k ^ 2) # 반대 표지판을 가지고있다.

언제 #k in 1, 9 # 양자 모두 # 240-26k # 과 # 169-k ^ 2 # 긍정적입니다.

언제 #k in 10, 12 # 우리는 찾는다 # 240-26k <0 # 과 # 169-k ^ 2> 0 # 필요에 따라.

따라서 가능한 최소값 #케이# ~이다. #10#.

그때:

# -20a + 69b = 0 #

그런 다음 #20# 과 #69# 더 큰 공통 인자가 없다. #1#, 최소값 #에이# 과 #비# 아르 #69# 과 #20# 각기.