간격 [0,1]에서 g (x) = x / csc (pi * x)의 최소값은 얼마입니까?

대답:

최소값은입니다. #0# 둘 다에 위치 # x = 0 # 과 # x = 1 #.

설명:

먼저이 함수를 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

# g (x) = x / (1 / sin (pix)) = xsin (pix) #

그걸 상기해라. #csc (x) = 1 / sin (x) #.

이제 간격의 최소값을 찾으려면 간격의 끝점 또는 간격 내에서 발생하는 임계 값에서 발생할 수 있음을 인식하십시오.

간격 내에서 임계 값을 찾으려면 함수의 미분을 #0#.

기능을 차별화하기 위해 제품 규칙. 제품 규칙의 적용은 우리에게 준다

sin (pix) d / dx (x) + xd / dx (sin (pix)) #

각 파생 상품은 다음을 제공합니다.

# d / dx (x) = 1 #

그리고 연쇄 법칙:

# d / dx (sin (pix)) = cos (pix) * underbrace (d / dx (pix)) _ (= pi) = 피코 (pix) #

이 두 가지를 결합하면

# g '(x) = sin (pix) + pixcos (pix) #

따라서 중요한 값은 언제든지 발생합니다.

#sin (pix) + pixcos (pix) = 0 #

우리는 이것을 대수적으로 풀 수는 없으므로 주어진 간격에서이 함수의 모든 0을 찾기 위해 계산기를 사용하십시오 #0,1#:

그래프 {sin (pix) + pixcos (pix) -1.1, 1.1, -3, 2.02}}

간격 내의 두 가지 중요한 값은 다음과 같습니다. # x = 0 # 과 # xapprox0.6485 #.

그래서, 우리는 #g (x) # 에서 발생할 수있다. #3# 다른 장소들:

• # x = 0 # 또는 # x = 1 #, 간격의 끝점
• # x = 0 # 또는 # x = 0.6485 #, 간격 내의 임계 값

이제 가능한 값을 간격으로 연결하십시오.

(g (0) = 0, color (red) text (최소)), (g (0.6485) = 0.5792, 텍스트 (최소)):} #

똑같이 낮은 두 개의 값이 있기 때문에, # x = 0 # 과 # x = 1 #. 비록 우리가 어려움을 겪었지만 # x = 0.6485 #, 그것은 심지어 최소한이 아니었다.

그림을 그렸다. #g (x) # 그 간격에 #0,1#:

그래프 {x / csc (pix) -.05, 1.01, -1.1,.7}

또한 최소값은 다음과 같습니다. #0#이후 # g (0) = g (1) = 0 #. 구별은 # x = 0 # 과 # x = 1 # 미니 마의 위치입니다.