F (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x의 국부적 인 극값은 무엇입니까?

대답:

유일한 극치는 # x = 0.90322 … #, 최소 기능

그러나 거기에 도달하기 위해서는 입방 방정식을 풀어야하고, 그 답은 전혀 '좋은'것이 아닙니다. 질문을 정확하게 입력 했습니까? 또한 아래에 제시된 분석량을 사용하지 않고 답변에 접근하는 방법에 대한 제안을 포함 시켰습니다.

설명:

1. 표준 접근 방식은 힘든 방향으로 우리를 가리 킵니다.

먼저 미분을 계산하십시오.

#f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x #

그래서 (체인 및 지수 규칙에 따라)

(x-4)) / x ^ 2 = 32x-24-4 / x ^ 2 #

그런 다음이 값을 0으로 설정하고 #엑스#:

# 32x-24-4 / x ^ 2 = 0 #

# 32x ^ 3-24x ^ 2-4 = 0 #

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

우리는 급진적 인 방법으로 해결할 수있는 3 차 방정식을 가지고 있지만 이것은 쉬운 과정에서 멀리 떨어져 있습니다. 우리는이 방정식이 일반적으로 세 가지 근본을 가지고 있지만, 적어도 하나는 될지라도 - 적어도 하나는 중간 값 정리 - http: // en에서 알 수있을 것입니다. wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem - 함수가 한쪽 끝에서 무한대로 이동하고 다른 쪽 끝에서 무한대로 이동하기 때문에 한 지점 또는 다른 지점에서 모든 값을 가져와야 함을 알 수 있습니다.

몇 가지 간단한 값을 시도해 보면 (1은 종종 유익하고 빠른 값입니다) 1/2에서 1 사이의 어딘가에 루트가 있음을 알 수 있습니다. 그러나 방정식을 단순화하는 확실한 솔루션을 찾지 못했습니다. 3 차 방정식을 푸는 것은 길고 지루한 과정입니다 (아래에서 설명 할 것입니다). 그렇게하기 전에 직감을 알려주는 것이 좋습니다. 더 많은 해결책을 시도해 보면, 0.9와 0.91 사이 인 것으로 나타났습니다.

2. 간단한 문제를 해결하십시오.

함수는 두 항의 차이로 구성되며, # f_1 (x) = (4x-3) ^ 2 # 과 # f_2 (x) = (x-4) / x #. 다양한 범위의 #엑스#, 두 번째 항목은 모든 값에 대해 1에 가까울 것이므로이 중 첫 번째 항목은 엄청나게 지배적입니다. #엑스# 작은 값에서 멀리 떨어져. 두 개의 개별 용어가 어떻게 작동하는지 묻습니다.

첫 학기, # f_1 #

# f_1 (x) = (4x-3) ^ 2 #

# f_1 ^ '(x) = 4 * 2 (4x-3) = 8 (4x-3) #

이 값을 0으로 설정하십시오. # x = 3 / 4 #. 이것은 우리가 발견 한 함수의 제로 영역에 있지만 아주 가까이 있지 않습니다.

#f (1) # ~에서 포물선이다. #엑스#, 하나는 #엑스# 축 # x = 3 / 4 #. 그 파생물은 동일한 점에서 X 축을 교차하는 경사 32의 가파른 직선입니다.

두 번째 항, # f_2 #

# f_2 (x) = (x-4) / x = 1-4 / x #

# f_2 ^ '(x) = 4 / x ^ 2 #

이 값을 0으로 설정하십시오. #엑스#. 그래서 # f_2 # 그 자체로 함수로서 극한치가 없다. 그러나 그것은 무한대까지 불어 나오는 지점을 가지고 있습니다: # x = 0 #. 음의 쪽에서 0에 가까워지면 양의 무한대로, 양의 쪽에서 0에 가까워지면 음의 무한대로 이동합니다. 이 지점에서 멀리 떨어져있는 곡선은 양쪽에서 값 1로 향합니다. # f_2 # 중심에있는 쌍곡선이다. # (x, y) = (0,1) #. 그 파생물은 음과 양의 2 개의 곡선으로 된 곡선입니다. #엑스#. 그것은 양방향에서 양의 무한대로갑니다. # x = 0 # 항상 긍정적입니다.

유의 사항 # f_1 ^ '(x) <0 # 모든 #x <0 #. 교차로가 없을 수 있습니다. # f_1 ^ '# 과 # f_2 ^ '# 부정적인 #엑스# 중심선. 긍정적 인 것 이상 #엑스# 축에는 정확하게 하나의 교차점이 있어야합니다. 하나의 곡선은 0보다 작지 않고 무한대로갑니다. #엑스# 다른 하나는 무한대에서 0으로갑니다. 중간 값 정리 (위 참조)를 적용하면 정확히 한 번 교차해야합니다.

이제 우리는 하나의 해결책만을 찾고 있지만 확실한 답을 얻지 못했습니다.

3. 수치 적으로 답을 구합니다.

이러한 종류의 문제를 해결해야하는 전문적인 상황에서 종종 필요한 부분에 도달하는 가장 빠른 방법은 수치 근사치를 수행하는 것입니다. 함수의 근원을 찾기위한 좋은 방법은 Newton-Raphson 방법입니다 (http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method).

어느 것이: 함수의 근원을 찾는 것입니다. #에프#먼저 추측해라. # x_0 # 루트에서 다음이 수식에 따라 라운드를 반복합니다.

# x_1 = x_0-f (x_0) / (f '(x_0)) #

# x_1 # 보다 나은 추측이다. # x_0 #, 원하는 정밀도에이를 때까지이 작업을 반복합니다.

우리의 기능과 그 파생어를 상기하십시오:

#f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x #

#f '(x) = 8 (4x-3) -4 / x ^ 2 #

그래서 0.5를 우리의 뿌리로 생각할 수 있습니다. # x_0 = 0.5 #, #f (x_0) = 8 #, #f '(x_0) = - 24 #. 그러므로 # f_1 = 0.5 + 8 / 24 = 0.5 + 1 / 3 = 0.8333 …. #, 실제로 더 가까운 대답. 반복하면 위에서 언급 한 약 0.9의 가치를 갖게됩니다.

따라서 우리는 임의의 정밀도로 해답을 찾을 수 있습니다. 그러나 완전한 해답에는 분석 해법이 필요합니다. 우리가 위에서 지적한 것은 어려운 일입니다. 그래서 여기에 우리가 간다 …

4. 천천히 그리고 고통스럽게 완전한 문제를 풀어 라.

이제 풀 큐빅 솔루션을 해봅시다. (이 문제를 올바르게 풀려면 대수를 좋아해야한다.)

첫째, 나눗셈을 통해 선행 항에 계수 1:

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

# x ^ 3-3 / 4 x ^ 2 - 1 / 8 = 0 #

둘째, 변수를 다음과 같이 대체하십시오. #와이# 그 (것)들을 제거하기 위하여 # x ^ 2 # 기간:

대용품 # x = y + 1 / 4 #. 더 일반적으로, 형태의 방정식 # ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 #, 하나는 대신 할 것이다. # x = y-b / (3a) #. 대수를 통해 작업한다면, 이것이 항상 # x ^ 2 # 용어가 사라집니다. 이 경우 우리는 다음을 얻습니다.

# x ^ 3 -3/4 x ^ 2 - 1 / 8 = 0 #

# (y + 1 / 4) ^ 3 -3/4 (y + 1 / 4) ^ 2 - 1 / 8 = 0 #

(대괄호 확장, 이항 정리를 기억함:

# y ^ 3 + 3 / 4y ^ 2 + 3 / 16y + 1 / 64-3 / 4y ^ 2-3 / 8y-3 / 64-1 / 8 = 0 #

(두 개의 # y ^ 2 # 용어가 정확히 취소됨)

# y ^ 3-3 / 16y = 5 / 32 #

우리는 이전에했던 것과 같은 수의 용어를 사용합니다. #와이# 기간. 패배 # y ^ 2 # 용어는 수학적 이익, 약속입니다!

셋째, 또 다른 대체 (Vieta의 대체: http://mathworld.wolfram.com/VietasSubstitution.html)하여이를 2 차 방정식으로 바꾸십시오.

대용품 # y = w + 1 / (16w) #. 더 일반적으로, 형태의 방정식 # y ^ 3 + py = q #,이 치환은 # y = w-p / (3w) #.

# y ^ 3-3 / 16y = 5 / 32 #

# 3-3 / 16 (w + 1 / (16w)) = 5 / 32 #

# w ^ 3 + 3 / 16w + 3 / (256w) +1 / (4096w-3) -3 / 16w-3 / 256w = 5 / 32 #

(두 가지 모두 # w # 과 # 1 / w # 용어는 정확히 취소됨)

# w ^ 3 + 1 / (4096w ^ 3) = 5 / 32 #

# w ^ 6-5 / 32w ^ 3 + 1 / 4096 = 0 #

(이제, 당신은 지구상에서 무엇이 이익이되는지를 물을 수 있습니다 - 우리는 6 차 방정식, 확실하게 손실이 생길 때까지 우리의 3 차 방정식을 만났습니다 …하지만 이제 우리는 그것을 2 차 방정식으로 생각할 수 있습니다 …에서 # w ^ 3 #우리는 2 차 방정식을 풀 수 있습니다 …)

넷째, # w ^ 3 #

# w ^ 6-5 / 32w ^ 3 + 1 / 4096 = 0 #

# (w ^ 3) ^ 2-5 / 32 (w ^ 3) + 1 / 4096 = 0 #

이차 방정식 사용:

# w ^ 3 = (5 / 32 + -sqrt (25 / 1024-1 / 1024)) / 2 #

(5 / 32 + -sqrt (24/1024)) / 2 = (5/32 + -sqrt (24) / 32) / 2 #

(64) = (5 + -2sqrt (6)) / 64 #

우리는 해답을 가지고 있습니다! 이제 우리는 원래 변수와 다시 연관시켜야합니다. #엑스#.

다섯째, 원래의 용어로 다시 변환하십시오.

# w ^ 3 = (5 + -2sqrt (6)) / 64 #

큐브 루트 가져 오기:

#w = (5 + -2sqrt (6)) / 64 ^ (1/3) #

#w = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

우리가 어떻게 관련되었는지 생각해보십시오. #와이# 에 # w # 일찍이: # y = w + 1 / (16w) #

(6) ^ (1/3)) / 4 + 1 / (4 5 + -2sqrt (6) ^

지금 # 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

(6) / (- 5 + -2sqrt (6) (6)) ^ (1/3)) #

(1/3)) / ((5 + -2sqrt (6)) (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 25 + 4 * 6 ^ (1/3)) #

(1/3) # / (- 1) = - - 5 + -2sqrt (6)

(소크라테스는 플러스 마이너스의 마이너스 플러스를 제공하지 않는 것처럼 보이므로이 방법으로 작성해야합니다)

그러므로

(1/3)) / 4 - (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

두 번째 큰 기간에 빼기 기호를 곱하면 두 개의 동일한 표현식을 얻을 수 있으므로 이차 기호 인 +/- 빼기 기호를 삭제하고

# 1 = 1 / 4 (5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)

마침내 (!) 우리가 # x = y + 1 / 4 #.

그러므로

(1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

여섯 번째, 이들 뿌리 중 몇 개가 실제로 있는지 추론합니다.

입방체 뿌리에있는 두 표현식에는 각각 하나의 실제 근음과 두 개의 공액 상상의 뿌리가 있습니다. 실수 #에이# 세 입방 뿌리가있다. # a ^ (1/3) #, # a ^ (1/3) (1 / 2 + isqrt (3) / 2) #,# a ^ (1/3) (1 / 2-isqrt (3) / 2) #. 이제 우리는 입방체 뿌리 안의 양쪽 표현이 모두 긍정적이라는 것을 안다. # 5 = sqrt (25)> sqrt (24) = 2sqrt (6) #), 따라서 제 2 및 제 3 값의 허수 성분 #엑스# 0으로 합칠 수 없습니다.

결론

따라서 실제 루트는 하나뿐입니다. #엑스# (우리는 더 단순한 분석으로 위의 결론을 내 렸습니다), 따라서 여러분이 요구하고있는 커브의 극단적 인 극단적 인 부분이 하나 있습니다.

(1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

또는 10 진수

# x = 0.90322 … #

우리는 하나의 극값 만 존재하고 그 함수는 양 끝에서 양의 무한대로 움직이는 경향이 있다는 사실에 의해 함수의 최소값이라는 것을 추론 할 수 있습니다.