F (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2의 국부적 인 최대 값과 최소값은 무엇인가?

대답:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

이 함수는에서 수직 점근선을가집니다. # x = 2 #, 접근법 #1# 위에서 x가 갈수록 # + oo # (수평 점근선) 및 접근법 #1# x가 갈수록 아래에서부터 # -oo #. 모든 파생 상품은에서 정의되지 않았습니다. # x = 2 # 게다가. 거기에 하나의 로컬 미니 마가 있습니다. # x = 0 #, # y = 0 # (원점에있는 모든 문제!)

당신이 내 수학을 확인하고 싶을지라도, 우리 중 최고는 홀수 음의 부호를 버리더라도 이것이 긴 질문입니다.

설명:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

이 함수는에서 수직 점근선을가집니다. # x = 2 #왜냐하면 분모는 0 일 때 # x = 2 #.

그것은 접근한다. #1# 위에서 x가 갈수록 # + oo # (수평 점근선) 및 접근법 #1# x가 갈수록 아래에서부터 # -oo #큰 값의 경우 # x ^ 2 ~ = (x-2) ^ 2 # 와 # x ^ 2> (x-2) ^ 2 # …에 대한 #x> 0 # 과 # x ^ 2 <(x-2) ^ 2 # …에 대한 #x <0 #.

최대 / 최소값을 찾으려면 1 차 및 2 차 미분 값이 필요합니다.

dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ 2}) # 몫 규칙을 사용하십시오!

(x-2)} / {(x-2) ^ 2 - x2 (d-dx (x-2)) ^ 4}) #.

힘을위한 규칙과 체인 규칙을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

(x-2) * 1)} / (x-2) ^ 4 # (x-1)} / dx = {(2x).

우리는 이제 약간 깔끔하게 …

(2x-4)} / (x-2) ^ 4 #

2x ^ 3 + 4x ^ 2} / (x-2) ^ 4 #

# df (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

이제 두 번째 파생물이 첫 번째 파생물처럼 수행됩니다.

(x / 2 + 8x) (d / dx (x (x-2) -2) ^ 4))} / (x-2) ^ 8 #

(4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

(4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

못 생겼지 만 우리는 플러그를 꽂고 잘못 작동하는 부분 만 메모하면됩니다.

# df (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # 이 함수는에서 정의되지 않습니다. # x = 2 #, 그 점근선하지만, 다른 곳에서도 괜찮아 보입니다.

우리는 최대 / 최소가 알고 싶습니다 …

우리가 설정 한 # {df (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # 분자가 0이고 분모가 아닌 경우이 값은 0입니다.

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # 또는 # 4x (2-x) = 0 # 이것은 0입니다. # x = 0 # 과 # x = 2 #, 우리는 파생 함수 / 함수가 정의되지 않은 최대 / 최소값을 가질 수 없기 때문에 유일한 가능성은 # x = 0 #.

"2 차 미분 테스트"

이제 우리는 2 차 미분을 보았습니다, 추한 그대로 …

(4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 8 #

함수와 1 차 미분과 마찬가지로 이것은 정의되지 않았습니다. # x = 2 #,하지만 다른 곳에서는 괜찮아 보입니다.

우리는 플러그 # x = 0 # 으로 # {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #, 그것을 연결하는 사랑스런 번호가 0이 아닌가?

#=128/256# 모든 것을 #1/2#

#1/2 >0# 그래서 # x = 0 # 로컬 미니 마입니다.

y 값을 찾으려면 함수에 y 값을 연결해야합니다.

#f (x) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # 기원!