A)와 b)를 사용하여 hatT_L = e ^ (LhatD) (a) [hatT_L, hatD] = 0 (b) [hatx, hatT_L] = - LhatT_L?

저기서 말한대로, 우리가해야 할 것처럼 보이는 것은 그걸 보여주는 것뿐입니다. #hatT_L = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #. 이 질문을받은 장소가 어디든간에 정의에 대해 혼란스러워합니다. # hatT_L #.

결국 우리는

#hatT_L - = e ^ (LhatD) = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #

주는

# hatD, hatx - = ihatp_x // ℏ, hatx = 1 #

과 아니 #hatT_L = e ^ (- LhatD) #. 모든 것을 일관되게 원한다면 #hatT_L = e ^ (- LhatD) #, 그것은 # hatD, hatx = bb (-1) #. 나는 그 질문을 고쳐서 이미 언급했다.

파트 1에서 우리는이 정의에 대해 (#hatT_L - = e ^ (LhatD) #),

# hatx, hatT_L = -LhatT_L #.

이후 #f (x_0 - L) # 의 고유 상태이다. # hatT_L #, 즉각적인 형태의 지수 연산자는 지수 연산자입니다. # e ^ (LhatD) #. 우리는 그것을 이해한다. #hatD = + ihatp_x // ℏ #우리는 그것이 사실임을 보여줄 것입니다.

파트 1에 나와있는 증명에서 우리는 다음과 같이 썼다.

#hatx (hatT_L f (x_0)) = (hatx, hatT_L + hatT_Lhatx) f (x_0) #

# = -LhatT_Lf (x_0) + hatT_Lhatxf (x_0) #

그것이 우리가 사용해야 할 곳입니다. 우리가해야 할 일은 테일러 확장 지수 연산자와 위의 증명이 여전히 있음을 보여줍니다.

이것도 여기에 자세히 나와 있습니다. 더 철저히 확장했습니다 …

1 / (n!) L ^ n (n) = (n-1) / (n0) hatD) ^ n #

그거 줘. #엘# 상수 일 때, 우리는 그것을 정류자에서 제외시킬 수 있습니다. # hatx # 색인에 의존하지 않고 들어갈 수 있습니다. 따라서:

# hatx, e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, hatD ^ n} #

이제 우리는 #hatD = ihatp_x // ℏ #, 그리고 그것은 우리가 알고 있기 때문에 의미가 있습니다:

hatx, hatp_x f (x) = -iℏx (df) / (dx) + iℏd / (dx) (xf (x)) #

# = 취소 (-iℏx (df) / (dx) + iℏx (df) / (dx)) + iℏf (x) #

그래서 # hatx, hatp_x = iℏ #. 그것은 한 #hatT_L = e ^ (LhatD) #, 우리는 마침내 문제의 두 부분에 걸쳐 일관된 정의를 얻을 수 있고 얻을 수 있습니다:

#color (파랑) (hatD ","hatx) = (ihatp_x) / (ℏ), hatx #

# = - (hatp_x) / (iℏ), hatx = -1 / (iℏ) hatp_x, hatx #

# = -1 / (iℏ) cdot - hatx, hatp_x #

# = -1 / (iℏ) cdot-iℏ = 색상 (파란색) (1) #

이것으로부터 우리는 정류자를 더 확장합니다.

hatx, e (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n! } #

^ n hatx, hatp_x ^ n} # # sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!)

자, 우리는 알고있다. # hatx, hatp_x #, 반드시 그런 것은 아니다. # hatx, hatp_x ^ n #. 너는 너 자신을 납득시킬 수있어.

(dx ^ n) + (dx (n-1) f) / (dx ^ (n-1)) #

그리고 그

# hatp_x ^ n = hatp_xhatp_xhatp_xcdots #

# = (-iℏ) d / (dx) ^ n = (-iℏ) ^ n (d ^ n) / (dx ^ n) #

그래서:

# hatx, hatp_x ^ n = hatxhatp_x ^ n - hatp_x ^ nhatx #

(xx (n)) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ nd ^ n / (dx ^ n)

(dx ^ n) + (dx (n-1)) / (dxn) f) / (dx ^ (n-1)))

n (d ^ (n-1)) / n (d (n)) - 취소 (x (d ^ nf) / f) / (dx ^ (n-1))}

(n-1) f) / (dx ^ (n-1))) # (n-1)

f (x) # = iℏn (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)

우리는 # hatp_x ^ (n-1) = (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1). 그러므로,

# hatx, hatp_x ^ n = iℏnhatp_x ^ (n-1) #, 제공됨 #n> = 1 #.

이것으로부터 우리는 다음을 찾는다.

hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) hatx, ex (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) ^ n} #

(n-1)} = (n-1) ^ (1)

어디에서 #n = 0 # 용어는 0으로 간다는 것을 알아야합니다. 그래서 생략했습니다. 계속해서, 우리는:

^ n hatp_x ^ (n-1) # # iℏ sum_ (n0) n / (n0)

hatp_x ^ (n-1) / (n-1) / (n-1)) #

여기서 우리는 단순히 지수 함수처럼 다시 보이려고합니다.

^ (n-1)!) # (i-1) ~ (n-1) ~ (n-1)

(그룹 용어)

(n-1)!) # = -L sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL)

(외부 평가)

(i = 0) ^ (oo) (ihatp_xL) / (nhat)) ^ (e ^ (ihatp_xL // ℏ)) #

(만약 #엔# 0에서 시작하여 # (n-1) #1 학기는 #엔#기간.)

결과적으로 다음과 같이 나타납니다.

# => 색상 (파란색) (hatx ","e ^ (ihatp_xL // ℏ)) = -Le ^ (ihatp_xL // ℏ) #

# - = -Le ^ (LhatD) #

# - = 색상 (파란색) (- LhatT_L) #

그리고 다시 원래의 정류자에게 돌아갑니다., 즉

# hatx, hatT_L = -LhatT_L 색 (파란색) (sqrt "") #

마지막으로, # hatT_L, hatD = 0 #.

# hatT_L, hatD = e ^ (LhatD), hatD #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!), hatD #

hatD - hatD (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n (0) !)) #)

이것을 명시 적으로 작성하면 작동하는 것을 볼 수 있습니다.

# hatd + ((LhatD) ^ 1) / (1!) hatD +. (hat!.. - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!.. #

# ((LhatD) ^ 0) / (0!) hatD - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + ((LhatD) ^ 1) / (1! 1) / (1!) +이다… #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!), hatD + (LhatD) ^ (1) / (1!), hatD +… #

# = L ^ 0 / (0!) (hatD) ^ 0, hatD + L ^ 1 / (1!) (hatD) ^ (1), hatD +… #

(hat!) ^ n ","hatD) # ^ color (blue) (sum_ (n = 0) ^ (oo)

이후 # hatD # 항상 자신과 통학하며, # hatD ^ n, hatD = 0 # 따라서,

# hatT_L, hatD = 0 # #color (파란색) (sqrt "") #