공을 12 피트 높이에서 똑바로 내려 놓습니다. 땅에 닿았을 때 떨어지는 거리의 1/3을 되돌려 놓습니다. 휴식하기 전에 공이 얼마나 멀리 (위 아래로) 움직일 것입니까?

대답:

공은 24 피트를 여행 할 것입니다.

설명:

이 문제는 무한 급수를 고려해야합니다. 공의 실제 동작을 고려하십시오.

먼저 공이 12 피트 떨어집니다.

다음으로 볼이 튀어 오릅니다. #12/3 = 4# 피트.

공이 4 피트 떨어집니다.

연속적인 반송에서 볼이 이동합니다.

# 2 * 12 / (3 ^ n) = 24 / 3 ^ n # 발, 어디서 #엔# 반송 수

따라서, 볼이 #n = 0 #, 우리의 해답은 기하 급수로부터 얻을 수 있습니다:

# sum_ (n = 0) ^ infty 24 / 3 ^ n - 12 #

참고 사항 #-12# 수정 기간은, 우리가 # n = 0 # 우리는 위로 12 피트 위로 12 피트 아래로 튀어 오릅니다. 실제로 공은 공중에서 시작할 때와 마찬가지로 절반 만 이동합니다.

합계를 다음과 같이 단순화 할 수 있습니다.

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1 / 3 ^ n - 12 #

이것은 다음과 같은 규칙을 따르는 단순한 기하학적 시리즈입니다.

#lim_ (n-> infty) sum_ (i = 0) ^ n r ^ i = 1 / (1-r) #

하는 한 # | r | <1 #

이것은 우리의 문제에 대한 간단한 해결책을 제시한다.

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1 / 3 ^ n - 12 = 24 * 1 / (1-1 / 3) - 12 #

# = 24*1/(2/3) - 12 = 24*3/2 -12 #

#= 36 - 12 = 24# 피트.