대답:
#color (파란색) (int (1 / (1 + cot x)) dx =) #
(tan (x / 2) -1)) + x / 2 * (x / 2) 2 + K) #
설명:
주어진 것부터 #int (1 / (1 + cot x)) dx #
피 적분 함수가 삼각 함수의 합리적인 함수라면, # z = tan (x / 2) #, 또는 그와 동등한 것
#sin x = (2z) / (1 + z ^ 2) # 과 #cos x = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) # 과
# dx = (2dz) / (1 + z ^ 2) #
해결책:
#int (1 / (1 + cot x)) dx #
#int (1 / (1 + cosx / sinx)) dx #
#int (sin x / (sin x + cos x)) dx #
(1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2))) * ((2z) 2dz) / (1 + z ^ 2)) #
단순화
(1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2))) * ((2z) 2dz) / (1 + z ^ 2)) #
#int (4z) / ((- z ^ 2 + 2z + 1) (z ^ 2 + 1)) * dz #
#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz #
이 시점에서 부분 분수를 사용하고 통합합니다.
(Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2 + (z ^ 2-2z-1)) dz #
먼저 부분 분수를 수행합니다.
(z ^ 2 + 1) = (Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / 2z-1) #
(z ^ 2-2z-1) + (Cz + D) (z ^ 2 ^ -1) +1)) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #
방정식의 오른쪽을 확장하십시오.
# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = #
(Az ^ 3-2Az ^ 2-Az + Bz ^ 2-2Bz-B + Cz ^ 3 + Dz ^ 2 + Cz + D) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #
수식 설정
(z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = # (0 * z ^ 3 + 0 * z ^ 2-4 * z + 0 *
(z + 2) + (- A + 2B + C) * z + (- B + D) * z ^ 0) / ((z + ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #
방정식은
# A + C = 0 #
# -2A + B + D = 0 #
# -A-2B + C = -4 #
# -B + D = 0 #
동시 솔루션 결과
# A = 1 # 과 # B = 1 # 과 # C = -1 # 과 # D = 1 #
우리는 이제 통합을 할 수 있습니다.
(Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2 + (z ^ 2-2z-1)) dz = int (z + 1) / (z ^ 2 + 1) + (-z + 1) /
1 / 2int (2z-2) / (z ^ 2z + 1) dz +
# 1 / 2 * ln (z ^ 2 + 1) + tan ^ -1 z-1 / 2 * ln (z ^ 2-2z-1) #
# 1 / 2 * ln ((z ^ 2 + 1) / (z ^ 2-2z-1)) + tan ^ -1 z #
원래의 변수로 되돌립니다. #엑스# ~을 사용하여 # z = tan (x / 2) # 최종 답.
#color (파란색) (int (1 / (1 + cot x)) dx =) #
(tan (x / 2) -1)) + x / 2 * (x / 2) 2 + K) #
어디에 # K = # 통합 상수
신의 축복이 … 나는 그 설명이 유용하길 바란다.
