질문 # e8044

질문 # e8044
Anonim

대답:

#color (파란색) (int (1 / (1 + cot x)) dx =) #

(tan (x / 2) -1)) + x / 2 * (x / 2) 2 + K) #

설명:

주어진 것부터 #int (1 / (1 + cot x)) dx #

피 적분 함수가 삼각 함수의 합리적인 함수라면, # z = tan (x / 2) #, 또는 그와 동등한 것

#sin x = (2z) / (1 + z ^ 2) ##cos x = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) #

# dx = (2dz) / (1 + z ^ 2) #

해결책:

#int (1 / (1 + cot x)) dx #

#int (1 / (1 + cosx / sinx)) dx #

#int (sin x / (sin x + cos x)) dx #

(1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2))) * ((2z) 2dz) / (1 + z ^ 2)) #

단순화

(1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2))) * ((2z) 2dz) / (1 + z ^ 2)) #

#int (4z) / ((- z ^ 2 + 2z + 1) (z ^ 2 + 1)) * dz #

#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz #

이 시점에서 부분 분수를 사용하고 통합합니다.

(Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2 + (z ^ 2-2z-1)) dz #

먼저 부분 분수를 수행합니다.

(z ^ 2 + 1) = (Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / 2z-1) #

(z ^ 2-2z-1) + (Cz + D) (z ^ 2 ^ -1) +1)) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #

방정식의 오른쪽을 확장하십시오.

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = #

(Az ^ 3-2Az ^ 2-Az + Bz ^ 2-2Bz-B + Cz ^ 3 + Dz ^ 2 + Cz + D) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #

수식 설정

(z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = # (0 * z ^ 3 + 0 * z ^ 2-4 * z + 0 *

(z + 2) + (- A + 2B + C) * z + (- B + D) * z ^ 0) / ((z + ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #

방정식은

# A + C = 0 #

# -2A + B + D = 0 #

# -A-2B + C = -4 #

# -B + D = 0 #

동시 솔루션 결과

# A = 1 ## B = 1 ## C = -1 ## D = 1 #

우리는 이제 통합을 할 수 있습니다.

(Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2 + (z ^ 2-2z-1)) dz = int (z + 1) / (z ^ 2 + 1) + (-z + 1) /

1 / 2int (2z-2) / (z ^ 2z + 1) dz +

# 1 / 2 * ln (z ^ 2 + 1) + tan ^ -1 z-1 / 2 * ln (z ^ 2-2z-1) #

# 1 / 2 * ln ((z ^ 2 + 1) / (z ^ 2-2z-1)) + tan ^ -1 z #

원래의 변수로 되돌립니다. #엑스# ~을 사용하여 # z = tan (x / 2) # 최종 답.

#color (파란색) (int (1 / (1 + cot x)) dx =) #

(tan (x / 2) -1)) + x / 2 * (x / 2) 2 + K) #

어디에 # K = # 통합 상수

신의 축복이 … 나는 그 설명이 유용하길 바란다.