삼각법 대체를 사용하여 int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) dx를 어떻게 통합합니까?

대답:

(10 × (10 × 10) / (sqrt (e × (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) (e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)

설명:

해결책은 조금 길다 !!!

주어진 것부터 #int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) * dx #

#int 1 / ((sqrt (-1) * sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

주목해라. # i = sqrt (-1) # 허수

그 잠시 복소수를 제쳐 놓고 적분으로 가라.

#int 1 / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

광장을 완료하고 몇 가지 그룹화를하면됩니다.

#int 1 / (sqrt ((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100-100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt ((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100) -100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt ((e ^ x + 10) ^ 2-100 + 101))) * dx #

#int 1 / (sqrt ((e ^ x + 10) ^ 2 + 1)))) * dx #

첫 번째 삼각법 대체: ##

예각 # w # 반대편에 # = e ^ x + 10 # 및 인접한면 #=1# hypotenuse =#sqrt ((e ^ x + 10) ^ 2 + 1) #

방해 # e ^ x + 10 = tan w #

# e ^ x dx = sec ^ 2 w # # dw #

# dx = (sec ^ 2w * dw) / e ^ x #

그리고

# dx = (sec ^ 2w * dw) / tan (w-10) #

적분은 다음과 같이된다.

#int 1 / sqrt (tan ^ 2w + 1) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sqrt (sec ^ 2w) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sec w * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int (secw * dw) / (tan w-10) #

삼각법에서 #sec w = 1 / cos w # 과 #tan w = sin w / cos w #

적분은 다음과 같이된다.

#int (1 / cosw * dw) / (sinw / cosw-10) # 과

#int (dw) / (sinw-10cosw) #

두 번째 삼각법 대체:

방해 # w = 2 tan ^ -1 z #

# dw = 2 * dz / (1 + z ^ 2) #

그리고 또한 # z = tan (w / 2) #

직각 삼각형: 예각 # w / 2 # 반대편에 # = z #

인접한면 #=1# 빗변 # = sqrt (z ^ 2 + 1) #

삼각법에서: 반각 수식 불러 오기

#sin (w / 2) = sqrt ((1-cosw) / 2 #

# z / sqrt (z ^ 2 + 1) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

해결을위한 #cos w #

#cos w = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) #

또한 ID를 사용합니다. #sin ^ 2w = 1-cos ^ 2w #

그것은 다음과 같다.

#sin w = (2z) / (1 + z ^ 2) #

적분은 다음과 같이된다.

(2z) / (1 + z ^ 2) -10 * (1-z ^ 2) 2) / (1 + z ^ 2)) #

적분 결과를 간단하게하기

#int (2 * dz) / (2z-10 + 10z ^ 2) #

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5-1) #

사각을 완료함으로써:

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5 + 1 / 100-1 / 100-1) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1 / 10) ^ 2-101 / 100) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1 / 10) ^ 2- (sqrt101 / 10) ^ 2) #

지금 수식을 사용하십시오. (u-a) / (u + a)) + C # 1 (2a-2)

방해 # u = z + 1 / 10 # 과 # a = sqrt101 / 10 # 다시 # i = sqrt (-1) #

원래 변수를 사용하여 최종 답안 작성

(10 × (10 × 10) / (sqrt (e × (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) (e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)