입증 할 Cot 4x (sin 5 x + sin 3 x) = Cot x (sin 5 x - sin 3 x)?

#sin a + sin b = 2 sin ((a + b) / 2) cos ((a-b) / 2) #

sin ((a-b) / 2) cos ((a + b) / 2) # sin -

오른쪽:

(5x-3x) / 2) cos ((5x + 3x) / 2) #cot x (sin 5x - sin 3x) = cot x cdot 2 sin

# = cos x / sin x cdot 2 sin x cos 4x = 2 cos x cos 4x #

왼쪽:

(5x + 3x) / 2) cos ((5x + 3x) / 2) cos (4x)

# = {cos 4x} / {sin 4x} cdot 2 sin 4x cos x = 2 cos x cos 4 x #

그들은 동등하다. #quad sqrt #

대답:

요인 수식 (Sum-to-Product 및 Product-to-Sum ID)

설명:

이 질문에 대해서는 Sum-to-Product 과 제품 대금 정체성.

나는 게으르다. 그래서 여기에 정체성의 그림이있다.

위의 곱 - 투 - 수식은 복합 각도 정체성을 통해 도출 할 수 있습니다.

대체 사용 #alpha = a + b # 과 #beta = a - b #다음과 같은 sum-to-sum 수식을 얻을 수 있습니다.

이제 우리는이를 정리하고 공식을 적용 해 보겠습니다.

cos ((5x - 3x) / 2)) = cos (4x) / sin (4x) (2x sin (3x) cos (x) = cos (x) / sin (x) (2cos (4x) sin (x)) = cot (x) (sin (4x + x) - sin (4x-x)) = cot (x) (sin (5x) - sin (3x)) #

또는 오른쪽에 sum-to-product 공식을 적용 할 수도 있습니다.

sin ((5x - 3x) / 2)) = cos (x) / sin (x) cos (x) / sin (x) (2cos (4x) sin (x)) = 2cos

# QED #