부품으로 통합을 사용하면,
# intx ^ 2sinpixdx #
#=#
# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #
부품 별 통합에는 공식을 사용합니다.
# intu # # dv # =#uv - intv # # du #
어떤 파생 상품에 대한 제품 규칙을 기반으로합니다:
#uv = vdu + udv #
이 수식을 사용하려면 어떤 용어를 사용할 지 결정해야합니다.
역 삼각법
로그
대수학
삼각
지수
이것은 당신에게 어떤 용어가 "
이제 우리는
# u = x ^ 2 # ,#dv = sinpix #
공식에 필요한 다음 항목은 "
파생물은 다음과 같은 전력 규칙을 사용하여 얻습니다.
# d / dxx ^ 2 = 2x = 뒤 #
적분에 대해서는 대입을 사용할 수 있습니다.
~을 사용하여
이제 우리는
#du = 2x dx # ,#v = # # (- 1 / pi) cospix #
원래의 부품 별 통합 공식에 연결하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
# intu # # dv # =#uv - intv # # du #
#=#
# intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix - (-1 / pi) int2xcospixdx #
이제는 통합을 통해 부품을 한 번 더 사용하여 해결해야하는 또 다른 필수 요소가 남아 있습니다. 당김으로써
#intxcospixdx = (1 / pi) xsinpix - (1 / pi) intsinpixdx #
우리가 최종 대체 라운드를 통해 해결할 수있는이 마지막 적분은 다음과 같습니다.
# (1 / pi) intsinpixdx = (-1 / pi ^ 2) cospix #
우리가 발견 한 모든 것을 함께 배치하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
# (- 1 / pi) x ^ 2cospix - (-2 / pi) (1 / pi) xsinpix - (-1 / pi ^ 2)
이제 우리는 최종 결과를 얻기 위해 네거티브와 괄호를 단순화 할 수 있습니다.
# intx ^ 2sinpixdx = #
# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #
열쇠는 함께 추가되거나 차감되는 여러 용어로 끝나게된다는 것을 기억하는 것입니다. 통합을 계속해서 작고 관리하기 쉬운 부분으로 나누어 최종 답을 추적해야합니다.
정수 int (x * cos (5x)) dx를 어떻게 찾을 수 있습니까?
Int u dv = uv - int v du이 적분을 성공적으로 찾기 위해 우리는 u = x, dv = cos 5x dx가되도록 할 것입니다. 따라서, du = dx 및 v = 1/5 sin5x. (v는 빠른 u-substitution을 사용하여 찾을 수 있습니다.) 내가 u의 값에 대해 x를 선택한 이유는 나중에 v를 u의 미분을 곱한 값을 통합하게된다는 것을 알기 때문입니다. u의 파생물은 단지 1이고 trig 함수를 단독으로 통합해도 더 복잡하지 않으므로 integrand에서 x를 효과적으로 제거하고 이제는 사인에 대해 걱정해야합니다. 따라서, IBP의 공식에 연결하면 다음과 같은 결과를 얻습니다. int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx integrand에서 1/5을 빼내면 int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/5 int sin 5x dx 사인을 적분하면 u- 치환 만 수행됩니다. 우리는 IBP의 공식에 이미 u를 사용 했으므로 대신 문자 q를 사용할 것입니다. q = 5x dq = 5 dx 적분 된 내부에 5 dx를 얻으려면 적분에 또 다른 1/5를 곱합니다 : int xcos5x dx = x sin5x dx = (x sin5x)
정수 int (x * e ^ -x) dx를 어떻게 찾을 수 있습니까?
Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C 프로세스 : int x e ^ (- x) dx =? 이 적분은 부품을 통한 통합이 필요합니다. 수식에 유의하십시오 : int u dv = uv - int v du u = x, dv = e ^ (- x) dx로합니다. 따라서 du = dx. v를 찾는 데는 u 치환이 필요합니다. 우리는 부품 공식에 의한 통합에서 이미 u를 사용하고 있으므로 u 대신 문자 q를 사용할 것입니다. v = int e ^ (- x) dx q = -x로하자. 따라서, dq = -dx dq를 수용하기 위해 두 개의 음수를 더하여 적분을 다시 쓰게 될 것이다 : v = -int -e ^ (- x) dx q의 관점에서 적혀있다 : v = -int e ^ (q) dq 따라서, v = -e ^ (- x) 이제 IBP의 수식을 되돌아 보면 우리는 다음과 같이 대입을 시작하는 데 필요한 모든 것을 갖게된다. int xe ^ (- x) dx = int xe (- x) dx = -xe ^ (- x) + int e ^ (-) 두 개의 네거티브를 단순화하고 취소합니다. x) dx 두 번째 적분은 쉽게 풀 수 있어야합니다 - 이미 발견 한 v와 같습니다. 간단히 대입하지만,
정수 int (x * ln (x)) dx를 어떻게 찾을 수 있습니까?
우리는 부분별로 통합을 사용할 것입니다. IBP의 수식을 기억하십시오. 이것은 int u dv = uv - int v du로 u = ln x, dv = x dx로 봅시다. 우리는 ln x의 미분 값이 1 / x와 같다는 것을 알기 때문에이 값들을 선택했습니다. 이것은 복잡한 것을 통합하는 대신에 (자연 로그) 아주 쉽게 통합 할 수 있다는 것을 의미합니다. (다항식) 따라서 du = 1 / x dx와 v = x ^ 2 / 2입니다. IBP의 수식을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다 : int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x ^ 2 / (2x) dx x는 새로운 적분 값에서 상쇄됩니다 : int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x / 2 dx 이제 해답 규칙을 사용하여 해를 쉽게 찾을 수 있습니다. 통합 상수를 잊지 마라. int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - x ^ 2 / 4 + C