378 개의 약수로 N을 N이라고하자. N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d라면 NN의 {a, b, c, d}의 값은 얼마인가?

대답:

# (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #

# N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #

설명:

주어진 숫자 #엔# 프라임 분해 #n = p_1 ^ (alpha_1) p_2 ^ (alpha_2) … p_k ^ (alpha_k) #, 각각의 약수 #엔# 형태의 # p_1 ^ (beta_1) p_2 ^ (beta_2) … p_k ^ (beta_k) # 어디에 #beta_i in {0, 1, …, alpha_i} #. 거기있는 그대로 # alpha_i + 1 # 각각에 대한 선택 # beta_i #, 약수의 수 #엔# 에 의해 주어진다

(alpha_k + 1) = prod_ (i = 1) ^ k (α_i + 1) # (α_1 + 1)

같이 # N = 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #, 약수의 수 #엔# 에 의해 주어진다 # (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) = 378 #. 따라서 우리의 목표는 # (a, b, c, d) # 상기 제품이 # 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d # 최소한입니다. 우리가 최소화하고 있기 때문에,이 시점부터 # a> = b> = c> = d # (그렇지 않은 경우 동일한 수의 제수로 더 적은 결과를 얻기 위해 지수를 교환 할 수 있습니다.)

주목해라. # 378 = 2xx3 ^ 3xx7 #가능한 경우를 고려해 볼 수 있습니다. #378# 4 개의 정수의 곱으로 쓰여있다. # k_1, k_2, k_3, k_4 #. 우리는 이들을 검사하여 가장 #엔#.

체재: # (k_1, k_2, k_3, k_4) => (a, b, c, d) => 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #

# (2, 3, 3 ^ 2, 7) => (8, 6, 2, 1) => ~ 3.3xx10 ^ 7 #

# (2, 3, 3, 3 * 7) => (20, 2, 2, 1) => ~ 1.7xx10 ^ 9 #

#color (빨강) ((3, 3, 2 * 3, 7) => (6, 5, 2, 2) => ~ 1.9xx10 ^ 7) #

# (3, 3, 3, 2 * 7) => (13, 2, 2, 2) => ~ 9.0xx10 ^ 7 #

# (1, 3, 2 * 3 ^ 2, 7) => (17, 6, 2, 0) => ~ 2.4xx10 ^ 9 #

우리는 여기에서 멈출 수 있습니다. #k_i> = 27 #,주는 # 2 ^ a> = 2 ^ 26 ~~ 6.7xx10 ^ 7 #이는 이미 우리의 최선의 경우보다 더 큽니다.

위의 작업을하면 # (a, b, c, d) # 최소한의 #엔# 와 #378# 약수는 # (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #,주는 # N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #