정규 12면의 면적을 찾는 수식은 무엇입니까?

정규 12면의 면적을 찾는 수식은 무엇입니까?
Anonim

대답:

#S _ ("정규 dodecagon") = (3 / (tan 15 ^ @)) "측면"^ 2 ~ = 11.196152 * "측면"^ 2 #

설명:

원 안에 12 개의 이등변 삼각형 (삼각형의 반경, 원의 반지름, 십이면의 변)이 형성되어 있음을 알 수 있습니다. 이 삼각형들 각각에서 십이지장의면에 반대되는 각은 #360^@/12=30^@#; 이 삼각형들 각각의 면적은 # ("옆"* "높이") / 2 #, 우리는 단지 문제를 해결하기 위해 십이지장의 측면에 수직 한 높이를 결정할 필요가 있습니다.

위에서 언급 한 이등변 삼각형의 밑변이 십이지장의 변이고 등변이 원의 반경 인 경우,# 알파 #) 동일하다 #30^@#, 원의 반경이 만나는 꼭지점에서 그려진 선만 있습니다 (C 지점)는 십자형의면을 수직으로 가로 지르며,이 선은 각을 양분합니다 # 알파 # 뿐만 아니라 점 C와베이스가 가로 챈 지점 사이의 삼각형의 높이를 정의합니다 (포인트 M)뿐만 아니라 두 개의 동일한 부분으로베이스를 나눕니다 (이렇게 형성된 두 개의 작은 삼각형이 합동이기 때문에 모두).

언급 된 두 개의 작은 삼각형이 올바른 것이므로 이등변 삼각형의 높이를 다음과 같이 결정할 수 있습니다.

#tan (알파 / 2) = "반대 cathetus"/ "인접 cathetus"# => #tan (30 ^ @ / 2) = ("옆"/ 2) / "높이"# => #height = "side"/ (2 * tan 15 ^ @) #

그럼 우리는

(측면) (2) * (2 * tan) = 12 * S_ (삼각) = 12 * (측면) (높이)) / 2 = 6 *) # => #S_ (dodecagon) = 3 * ("옆") ^ 2 / (tan 15 ^ @) #