RR ^ 4에서 부분 공간 W에 대한 기초와 특정 개수의 차원이 있다고 가정합니다. 측정 기준의 수가 2 인 이유는 무엇입니까?

대답:

4 차원 빼기 2 제약 = 2 차원

설명:

3 번째와 4 번째 좌표는 유일한 독립 좌표입니다. 처음 두 개는 마지막 두 개로 표현할 수 있습니다.

대답:

부분 공간의 차원은 그 기본에 의해 결정되며, 벡터 공간의 차원이 아닌 부분 공간입니다.

설명:

벡터 공간의 차원은 해당 공간에 기초한 벡터의 수에 의해 정의됩니다 (무한 차원 공간의 경우 기준의 카디널리티로 정의됩니다). 이 정의는 벡터 공간의 모든 기초가 다른 기준과 동일한 수의 벡터를 갖음을 증명할 수 있으므로 일관성이 있습니다.

의 경우 # RR ^ n # 우리는 그것을 알고있다. #dim (RR ^ n) = n # 같이

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

에 대한 근거 # RR ^ n # ~하고있다. #엔# 집단.

의 경우 #W = s, RR #에있는 t 우리는 # W # 같이 #svec (u) + tvec (v) # 어디에 #vec (u) = (4,1,0,1) # 과 #vec (v) = (-1,0,1,0) #.

이것으로부터 우리는 # {vec (u), vec (v)} # 에 대한 스패닝 세트입니다. # W #. 때문에 #vec (u) # 과 #vec (v) # 분명히 서로의 스칼라 배수가 아닙니다 (#0#s), 즉 # {vec (u), vec (v)} # 선형 독립 스패닝 집합입니다. # W #, 즉 기초. 때문에 # W # 기초가있다 #2# 요소라고하면 #dim (W) = 2 #.

벡터 공간의 차원은 해당 벡터가 더 큰 차원의 다른 벡터 공간에 존재할 수 있는지 여부에 의존하지 않습니다. 유일한 관계는 if # W # ~의 부분 공간이다. #V# 그때 #dim (W) <= dim (V) # 과 #dim (W) = 희미한 (V) <=> W = V #