Sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n의 수렴 간격은 얼마입니까?

대답:

#x in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

설명:

우리는 그렇게 할 수있다. #sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n # 비율을 갖는 기하 급수이다. # r = 1 / (x (1-x)) #.

이제 비율의 절대 값이 1보다 작은 경우 기하학적 수열이 수렴한다는 것을 알 수 있습니다.

# | r | <1 iff-1 <r <1 #

그래서 우리는이 불평등을 풀어야합니다.

# 1 / (x (1-x)) <1 및 1 / (x (1-x))> -1 #

첫 번째 작업부터 시작하겠습니다.

(1-x)) / (x (1-x)) <0 iff # 1 / (x (1-x)

# (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 #

우리는 분자가 항상 양의 값이고 분모가 그 간격에서 음의 값이라는 것을 쉽게 증명할 수 있습니다. #x in (-oo, 0) U (1, oo) #.

그래서 이것은 우리의 첫 불평등을위한 해결책입니다.

두 번째 것을 보자:

(1-x))> 0 iff (1 + xx ^ 2) / (x (1-x))> 0 #

이 불평등은 해답을 의미한다.

#x in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

그래서 우리의 시리즈는이 간격이 진실 인 곳으로 수렴합니다.

따라서 수렴 간격은 다음과 같습니다.

#x in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #