Int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx 란 무엇입니까?

대답:

#= 1/4#

설명:

# int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx #

# = int_1 ^ e d / dx (1 / 4ln ^ 2x) dx #

# = 1/4 ln ^ 2x _1 ^ e #

# = 1 / 4 1 ^ 2 - 0 _1 ^ e = 1 / 4 #

대답:

#1/4#

설명:

여러 가지 방법으로이 작업을 수행 할 수 있습니다. 여기에 두 가지가 있습니다. 첫 번째는 대체를 사용하는 것입니다.

#color (빨간색) ("방법 1") #

# int_1 ^ e (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2 int_1 ^ e (ln (x)) / (x) dx #

방해 # u = ln (x)는 du = (dx) / x #

제한 변환:

#u = ln (x)는 u를 의미합니다: 0 rarr 1 #

적분은 다음과 같습니다.

# 1 / 2int_0 ^ 1 u du = 1 / 2 1 / 2u ^ 2 _0 ^ 1 = 1 / 2 * 1 / 2 = 1 / 4 #

이것은 더 간단한 방법이지만 항상 대체 할 수있는 것은 아닙니다. 대안으로 부품별로 통합이 가능합니다.

#color (빨간색) ("방법 2") #

부품 별 통합 사용:

함수의 경우 #u (x), v (x) #:

#int uv 'dx = uv - int u'v dx #

# u (x) = ln (x)는 u '(x) = 1 / x를 의미한다.

#v '(x) = 1 / (2x)는 v (x) = 1 / 2ln (x) #을 의미한다.

# int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x)

용어와 같은 그룹화:

# 2 int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) + C #

#therefore int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) + C #

우리는 명확한 적분으로 작업하고 있으므로 한계를 적용하고 상수를 제거하십시오.

(x) = 1 ^ e # (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln

# = 1 / 4ln (e) ln (e) - 1 / 4ln (1) ln (1) #

#ln (e) = 1, ln (1) = 0 #

#implies int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4 #