Int sec ^ -1x를 파트 메서드로 통합하여 어떻게 통합합니까?

대답:

정답은 # = x "arc"secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

설명:

우리는 필요하다.

# (sec ^ -1x) '= ("arc"secx)'= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

# intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) #

부품 별 통합

# intu'v = uv-intuv '#

여기, 우리는

# u '= 1 #, #=>#, # u = x #

# v = "호"secx #, #=>#, # v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

따라서, #int "arc"secxdx = x "arc"secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) #

대체에 의한 두 번째 적분 수행

방해 # x = secu #, #=>#, # dx = secutanudu #

#sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu #

# intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu) / (tanu) = intsecudu #

# = int (secu (secu + tanu) du) / (secu + tanu) #

# = int ((sec ^ 2u + secutanu) du) / (secu + tanu) #

방해 # v = secu + tanu #, #=>#, # dv = (sec ^ 2u + secutanu) du #

그래서, # intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (dv) / (v) = lnv #

# = ln (secu + tanu) #

# = ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) #

마지막으로, #int "arc"secxdx = x "arc"secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

대답:

(x | 2-1)) + C # (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) +

설명:

또는, 역함수의 적분을 계산하기 위해 잘 알려지지 않은 공식을 사용할 수 있습니다. 수식은 다음과 같이 설명합니다.

(x) + f # (x) dx = xf ^ -1 (x) -F

어디에 # f ^ -1 (x) # 의 역수이다. #f (x) # 과 # F (x) # 항 미분제의 #f (x) #.

우리의 경우, 우리는 다음을 얻습니다:

(x) -F (초 × -1 (x)) + C #

이제 우리가 해결해야 할 것은 안티 미분 #에프#, 이는 잘 알려진 시컨트 적분이다:

(x) + dx = ln | sec (x) + tan (x) | + C #

이 공식을 공식에 다시 연결하면 최종 답을 얻을 수 있습니다.

(x)) + tan (sec ^ -1 (x)) | + C # 1 (x)

단순화하는 데주의해야합니다. #tan (sec ^ -1 (x)) # 에 #sqrt (x ^ 2-1) # 신원은 다음 경우에만 유효합니다. #엑스# 긍정적입니다. 그러나 우리는 로그 내의 다른 항에 절대 값을 넣어이를 수정할 수 있기 때문에 운이 좋습니다. 로그의 모든 것이 항상 양의 값을 가지므로 첫 번째 절대 값이 필요하지 않습니다.

# xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #