삼각형은 꼭지점 A (a, b), C (c, d) 및 O (0, 0)을가집니다. 삼각형의 외접 원의 방정식과 면적은 얼마입니까?

대답:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s quad # 어디에

2) = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2

(a ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

(a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-bc) ^ 2) #s = ((a ^ 2 + b ^ 2)

#A = pi s #

설명:

나는 그 질문을 일반화했다. 그게 어떻게되는지 보자. 원점에 하나의 버텍스를 남겨 두었습니다. 조금 더러워졌고 임의의 삼각형이 쉽게 변환되었습니다.

물론이 삼각형은이 문제에 절대적으로 중요하지 않습니다. 외접하는 원은 세 점을 통과하는 원입니다.이 점은 세 점입니다. 삼각형은 솔루션에서 놀라운 모양을 만듭니다.

일부 용어: 외접하는 원을 삼각형이라고합니다. 외접환 그 삼각형의 중심 외심.

중심이있는 원에 대한 일반 방정식 # (p, q) # 제곱 반경 #에스# ~이다.

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

원의 면적은 #A = pi s. #

우리는 세 가지 미지수가 있습니다. # p, q, s # 3 점을 알고 있으므로 3 개의 방정식을 얻습니다.

# p ^ 2 + q ^ 2 = s quad # 원점이 원에 있기 때문입니다.

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

연립 방정식을 풀어 봅시다. 페어를 확장 및 축소하여 두 선형 방정식으로 바꾸어 봅시다. # p ^ 2 + q ^ 2 # 왼쪽과 #에스# 오른쪽으로.

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

빼기, # a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (a ^ 2 + b ^ 2) = ap + bq #

비슷하게, # 1 / 2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

그것은 두 개의 미지수에있는 두 개의 방정식입니다. # AX = K # 해결책을 가졌다. # X = A ^ {- 1} K. # 나는 형식을 알지 못하는 두 행렬 역행렬을 기억한다.

# A ^ {- 1} = 1 / {ad-bc} (stackrel {d, -b} {-c, a}) #

그게 우리를 의미합니다.

2) = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2

(a ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

및 제곱 반경

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

(a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2) ^ 2 + (a (c ^ 2 + d ^ 2) 2)) ^ 2} / {4 (ad-bc) ^ 2} #

(a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-bc) ^ 2) #s = ((a ^ 2 + b ^ 2)

그래서 # 파이 # 그 금액.

임의의 삼각형에 대해 어떤 일이 일어나는지 생각해 보면 표현이 더 대칭이되는 것을 볼 수 있습니다. # (A, B), (C, D), (E, F). # 우리가 설정 한 # a = A-E, ## b = B-F, ## c = C-E, ## d = D-F # 하지만 지금은 그 일을하지 않을 것입니다.

나는 분자의 #에스# 삼각형의 변의 세 제곱 길이와 분모의 분모의 곱 #에스# 삼각형의 제곱 된 영역의 16 배입니다.

합리적인 삼각법에서는 제곱 길이가 호출됩니다. 사분면 그리고 제곱 된 영역의 16 배는 과장. 우리는 circumcircle의 반경의 quadrance가 quadrea로 나뉘어 진 삼각형의 quadrances의 곱인 것을 발견했습니다.

circumcircle의 반경이나 면적이 필요하면 결과를 다음과 같이 요약 할 수 있습니다.

circumcircle의 제곱 반경은 삼각형의 제곱 길이의 16 배로 나눈 삼각형의 제곱 길이의 곱입니다.

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #