친절하게 해결할 수 있을까요? 어떤 옵션이 맞습니까?

이것은 초등의 방법으로는 쉽게 해결할 수 없으므로 숫자로 풀어서 다음과 같이 나타냅니다.

나는 #n = 1, 1.5, 2,…, 9.5, 10, 25, 50, 75, 100 #. 그때까지는 분명히 도달했습니다. #0.5#.

대답:

아래를 참조하십시오.

설명:

# int_0 ^ 1 (nx ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dxle int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1 #

(n-1) dx = 1 / 2 # x_ (1-x)

또는

# 1 / 2 le int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le 1 #

이제 답 중 하나가 사실이라고 가정하면, 가장 자연스러운 것이 네 번째로 보인다. 4)

노트

…에 대한 #x in 0,1 #

# 1 / 2le1 / (1 + x2) le1 #

대답:

#1/2#

설명:

이전 솔루션에서 이미 보았 듯이, #I_n = int_0 ^ 1 (nx ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx #

존재하고 한정되어있다:

# 1 / 2 le I_n <1 #

이제 부품 수율로 통합

(2x) / (1 + x ^ 2) ^ 2 (2) (1)) dx #

#qquad = (x ^ n / (1 + x ^ 2)) _0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^ (n + 1) / (1 + x ^ 2) ^ 2dx #

#qquad = 1 / 2 + J_n #

자, 이후 # 0 <(1 + x ^ 2) ^ - 1 <1 # …에서 #(0,1)#

(n + 2) × 2 (n + 1)) / (1 + x ^ 2) ^ 2 dx #

(n + 2) dx = 2 / (n + 2) I_ (n + 2)) #

이후 #lim_ (n to oo) I_n # 존재한다.

I_ (n + 2) = lim_ (n ~ oo) 2 / (n + 2) 회 lim_ (n ~ oo) I_ (n + 2) = 0 #

금후

# lim_ (n to oo) I_n = 1 / 2 #